Планарность и теорема Эйлера

Операция подразбиения ребра состоит в установке на этом ребре (в середине) новой вершины. Таким образом, вместо одного старого ребра появляются два новых, и появляется дополнительно новая вершина степени два. Граф называется подразбиением другого графа, если его можно получить из этого другого графа путём последовательного применения операции подразбиения рёбер. Подразбиение графа имеет по сравнению с самим графам больше вершин и больше рёбер. Увеличение числа вершин в подразбиении графа происходит только за счёт вершин степени два.

Графы называются гомеоморфными, если существуют их подразбиения, являющиеся изоморфными.

Плоским называется граф, изображённый на плоскости так, что никакие два его ребра (или, вернее, представляющие их кривые) геометрически не пересекаются нигде, кроме вершины, являющейся общим концом для этих рёбер. Граф, изоморфный плоскому, называется планарным.

Теорема: графа K и K не планарны. Значит, любой граф, содержащий K и K в качестве подграфа, не планарен. Оказывается, что K и K - это по существу единственные не планарные графы в том смысле, что любой не планарный граф содержит один из них. Теорема Куратовского: граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных K или K.

Плоский граф разбивает плоскость, на которой он изображён, на грани, окружённые рёбрами графа. Одна грань у графа всегда не ограничена, она называется бесконечной. Теорема Эйлера: для связного плоского графа n+f=m+2, где f – число граней у графа. У дерева, например, f=1 (одна бесконечная грань). Для не связных плоских графов теорема Эйлера имеет вид: n+f=m+p+1, где p – число компонент связности.

Следствие теоремы Эйлера: для связного планарного графа с n>=3 вершинами m<=3n-6. Отсюда получаем, что K не планарен, так как для него 3n-6=9, а m=10.

В K каждая грань ограничена по крайней мере четырьмя рёбрами, так как циклы в двудольном графе имеют чётную длину. Значит, каждая грань приносит как минимум 4 ребра, при этом каждое ребро посчитали дважды (каждое ребро разделяет две грани). 4f<=2m. По теореме Эйлера для плоского связного графа f=m+2-n. Значит, 4(m+2-n)<=2m. Отсюда 2m<=4n-8 или 18<=16, противоречие. Значит, K не планарен.

Теорема, в любом планарном графе существует вершина, степень которой не больше 5. Доказываем от противного. Считаем граф плоским, связным и n>=3. Если степень каждой вершины не менее 6, то каждая вершина приносит по меньшей мере 6 рёбер, при этом каждое ребро посчитали дважды. Получили: 6n<=2m. Но по теореме Эйлера m<=3n-6, то есть получили 6n<=6n-12, противоречие.

Толщина графа t – это наименьшее число планарных графов, объединение (наложение) которых даёт граф. Толщина графа t является мерой его не планарности. Толщина планарного графа равна 1, а толщина K и K - двум. Оценка снизу для толщины графа t получается из теоремы Эйлера. Часто эта оценка является истинным значением толщины. t>={m/(3n-6)} t>=[(m+3n-7)/(3n-6)], где [x] и {x} – целые числа и [x]<=x<={x} и {x}=-[-x].