Теорема Холла и цепи Маркова

Подмножество рёбер двудольного графа называется паросочетанием, если никакие два ребра из паросочетания не имеют общей вершины. Паросочетание в двудольном графе с максимальным количеством рёбер в нём называется максимальным (или полным), если никакое другое паросочетангие на этом граф не содержит рёбер больше, чем максимальное. Паросочетания с меньшим количеством рёбер, чем полное, называются частичными.

Теорема Холла: паросочетание будет максимальным, если любые k вершин из меньшей доли вершин, мощностью n, будут иметь рёбра в совокупности по меньшей мере с k вершинами из большей доли вершин, мощностью n, где 1<=k<= n и n<= n.

Существует несколько алгоритмов нахождения совершенного паросочетания. Рассмотрим точный алгоритм, использующий так называемые чередующиеся цепи. Вершина в двудольном графе будет называться парной, если она является концом одного из рёбер паросочетания. Цепь, соединяющая две непарные вершины, в которой чередуются рёбра, входящие и не входящие в паросочетание, называется чередующейся. Чередующаяся цепь всегда имеет нечётную длину (в том числе и единицу).

Имея чередующуюся цепь, можно на одно ребро увеличить паросочетание, удалив из него рёбра, входящие в чередующуюся цепь и добавив рёбра из чередующейся цепи, которые не входили в паросочетание. Если длина чередующейся цепи равна единице, то просто добавляем это ребро в паросочетание. Паросочетание будет максимальным тогда и только тогда, когда не будет существовать чередующейся цепи относительно него.

В более простом эвристическом алгоритме нахождения максимального паросочетания на каждом этапе выбирается вершина минимальной степени и в пару к ней берётся из другой доли вершина тоже минимально возможной степени. После чего полученная пара удаляется из двудольного графа вместе со всеми своим рёбрами и процесс повторяется для следующей пары вершин.

Двудольный граф задаётся своей, так сказать, прямоугольной «четвертью», поскольку две из остальных «четвертей» полностью нулевые, а последняя совпадает с первой. Строки этой «четверти» соответствуют вершинам одной доли, а столбцы – вершинам другой доли.

В цепи Маркова имеется n состояний, квадратная матрица P переходов размером n, и вектор x длины n , определяющий начальное состояние цепи. Каждый элемент P матрицы перехода равен вероятности перехода цепи из i-о состояния в j-е за единицу времени. Если в матрице перехода P все положительные (не нулевые) значения заменить единицами, то получим матрицу смежности A ассоциированного с этой цепью Маркова орграфа.

Из i-о состояния в j-е можно попасть тогда и только тогда, когда в ассоциированном орграфе цепи Маркова существует орцепь, соединяющая соответствующие этим состояниям вершины, и наименьшее возможное время попадания равно длине кратчайшей из таких орцепей.

Цепь Маркова, в которой из любого состояния можно попасть в любое другое (ассоциированный орграф сильно связан), называется неприводимой. Состояния бывают возвратные и невозвратные. В возвратные состояния цепь Маркова возвращается независимо от продолжительности процесса, а в невозвратные цепь попадает несколько раз и более не возвращается. Состояние возвратно тогда и только тогда, когда существование из соответствующей ему вершины ассоциированного орграфа орцепи в какую-то другую вершину влечёт за собой существование обратной орцепи.

Кроме того, состояния бывают периодические и не периодические. Состояние будет периодическим с периодом t (t>1), если в состояние можно вернуться по истечении времени, кратного t. Состояние будет периодическим тогда и только тогда, когда в ассоциированном орграфе длина каждой орцепи, проходящей через соответствующую этому состоянию вершину, кратна t.

Состояние цепи Маркова называется эргодическим, если оно возвратно и не периодично. Если все состояния являются эргодическими, то это эргодическая цепь Маркова.