Задания по орграфам

Л.

Обратный к G орграф получается из G переменой направления каждой дуги. Приведите пример орграфа G, изоморфного своему обратному. Что можно сказать о матрицах смежности орграфа и обратного к нему орграфа?

К.

Доказать, что слабо связный орпсевдограф является сильно связным тогда и только тогда, когда в нём существует ориентированный замкнутый контур, содержащий каждую дугу орпсевдографа хотя бы один раз.

Д.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Построить все попарно неизоморфные турниры с а) 3 вершинами; б) 4 вершинами. Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо связных?

J.

Доказать, что в n-вершинном (n>1) слабо связном орграфе (без петель и кратных дуг) число дуг (m): (n-1)m(n-1)(n-2), если орграф не является сильно связным.

О.

Пусть G – слабо связный ориентированный псевдограф, не являющийся односторонним. Доказать, что в G нет такой вершины, удаление которой даёт сильно связный псевдограф.

У.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. В транзитивном турнире существование дуг (w,v) и (v,u) влечёт за собой существование дуги (w,u). Показать, что вершины транзитивного турнира можно упорядочить по «силе» (по степени исхода).

Ъ.

Определить, имеют ли контуры орграфы с матрицами смежности:

в в

а)из;б) из.

Ф.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. В транзитивном турнире существование дуг (w,v) и (v,u) влечёт за собой существование дуги (w,u). Показать, что транзитивный турнир, имеющий не менее двух вершин, не может быть сильно связным.

Н.

Бесконтурным ориентированным мультиграфом называется мультиграф без контуров (ориентированных простых циклов). Доказать, что в нём существует вершина с нулевой полустепенью исхода.

Р.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Доказать, что в турнире не может быть больше одного истока (с нулевой полустепенью захода) и одного стока (с нулевой полустепенью исхода).

S.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Доказать, что если из сильно связного турнира удалить одну вершину, то останется либо сильно связный орграф, либо он же, но без одной дуги.

Г.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Построить все попарно неизоморфные турниры с 5 вершинами, содержащие один исток (с нулевой полустепенью захода) и один сток (с нулевой полустепенью исхода).

Ж.

Доказать, что в n-вершинном (n>1) односторонне связном орграфе (без петель и кратных дуг) число дуг (m): (n-1)m(n-1), если орграф не является сильно связным.

В.

Изобразить все попарно неизоморфные орграфы, содержащие: а) 3 вершины и хотя бы одну дугу; б) 4 вершины и 4 дуги; в) 5 вершин и 3 дуги. Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо связных.

З.

Доказать, что если для каждой вершины ориентированного псевдографа полустепень исхода положительна, то в нём существует ориентированный контур (петля – контур длины 1).

Х.

Доказать, что если в орграфе отсутствуют вершины с нулевой полустепенью исхода (захода), то в нём есть простой контур.

Ц.

Доказать, что удаление из орграфа вершины с полустепенью исхода (захода) не большей единицы, приводит к орграфу, контуры которого совпадают с контурами исходного орграфа.

Т.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Пусть у одной вершины турнира полустепень исхода не меньше, чем полустепень исхода любой другой вершины. Доказать, что расстояние от этой вершины до любой другой вершины турнира не превосходит 2.

П.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Пусть {v, … ,v} – множество вершин турнира, а вектор d длины n содержит полустепени исхода вершин. Доказать, что (d(v))=

(n – 1 - d(v))

С.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. Пусть {v, … ,v} – множество вершин турнира, а вектора d и d длины n содержат полустепени исхода и захода вершин соответственно. Доказать, что а) d(v)=d (v);

б) (d(v))=(d (v))

И.

Пусть орграф G (без петель и кратных дуг) является по крайней мере слабо связным, {v, … ,v} – множество его вершин (n>1) и вектора d и d длины n содержат полустепени исхода и захода вершин соответственно. d(v) - d(v)=1; d(v) - d(v)= -1; d(v) = d(v) для i=3, … , n. Доказать, что в G существует орцепь (v,v), содержащая все его дуги.

Ш.

Определить матрицы достижимости и сильной связности для орграфов с матрицами смежности:

в в

а) из; б) из.

Ы.

Определить матрицы достижимости и сильной связности для орграфов с матрицами смежности:

в в

а)из;б) из;

в

в) из.

Ч.

Определить, имеют ли контуры орграфы с матрицами смежности:

в в

а)из;б) из;

в

в) из.

Я.

Определить матрицу сильной связности, найти количество компонент сильной связности и определить матрицы смежности этих компонент, построить орграф, заданный матрицей

в

смежности: из.

Ю.

Определить матрицу сильной связности, найти количество компонент сильной связности и определить матрицы смежности этих компонент, построить орграф, заданный матрицей

в

смежности: из.

Ь.

Определить матрицу сильной связности, найти количество компонент сильной связности и определить матрицы смежности этих компонент, построить орграф, заданный матрицей

в

смежности: из.

G.

Орграф полный, если в нём любые две вершины соединены хотя бы одной дугой. Доказать, что во всяком полном ориентированном псевдографе существует источник, т.е. вершина, из которой достижима любая другая вершина псевдографа.

Э.

В турнире (полном орграфе) каждая пара вершин связана ровно одной дугой. В транзитивном турнире существование дуг (w,v) и (v,u) влечёт за собой существование дуги (w,u). Показать, что в транзитивном турнире существует единственная орцепь, соединяющая все вершины (полугамильтонова цепь).

А.

Изобразить все попарно неизоморфные орграфы (без петель и кратных дуг), содержащие: а) 3 вершины и 3 дуги; б) 3 вершины и 4 дуги; в) 4 вершины и 3 дуги. Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо связных.

Е.

Доказать, что в n-вершинном (n>2) сильно связном орграфе (без петель и кратных дуг) число дуг (m): nmn(n-1).

Б.

Изобразить все попарно неизоморфные ориентированные псевдографы, содержащие: а) 2 вершины и 2 дуги; б) 2 вершины и 3 дуги; в) 3 вершины и 2 дуги. Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо связных.