Задания по графам

Н.

Доказать, что если в графе без петель и кратных ребер min степеней вершин не меньше

(n-1)/2, то граф связен. Доказывать от обратного: посчитать max числа вершин и их max степень в двух компонентах связности.

Ю.

Доказать, что если в псевдографе существует ровно 2 вершины нечётной степени, то существует цепь, соединяющая их.

У.

Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе. Имеем граф без петель и кратных рёбер и его дополнение. Доказать, а) что хотя бы один из этих графов связен; б) если в графе более 4-х вершин, то хотя бы в одном из графа и его дополнения есть цикл. (Дерево – граф без циклов, у него m=n-1).

Р.

Доказать, что в связном псевдографе две простые цепи максимальной длины имеют хотя бы одну общую вершину. Верно ли, что у них всегда есть общее ребро.

Э.

Пусть у графа без петель и кратных рёбер n вершин и p компонент связности. Доказать, что m (число рёбер) (n-p)m(n-p)(n-p+1)/2. (Для нижней оценки рассмотреть лес из p деревьев, а для верхней – (p-1) изолированную вершину и полный граф с (n-p+1) вершинами.) Вывести отсюда, что если у n-вершинного графа (n>1) m>(n-2)(n-1)/2, то он связен (p=1)

Т.

Доказать, что если в мультиграфе степень каждой вершины больше единицы, то в нём есть цикл. А в псевдографе?

И.

Выяснить, какие наборы степеней вершин могут быть у 6-вершинных связных графов без петель и кратных рёбер, имеющих 7 рёбер и содержащих вершину степени два и вершину степени три. Для каждого допустимого набора степеней вершин построить пример соответствующего графа.

Ь.

Сколько существует попарно неизоморфных графов без петель и кратных рёбер, в которых: а) n=6 m=11; б) n=7 m=18; в) n=8 m=24.

П.

Доказать, что если из связного мультиграфа удалить произвольное ребро, содержащееся в некотором цикле, то новый мультиграф будет также связен. А псевдограф и граф?

G.

Известно, что 6-вершинные графы G и H не имеют петель и кратных рёбер, двусвязны (граф k-связен, если при удалении любых (k-1) вершин получается связный граф), содержат по 10 рёбер и степень одной вершины в каждом из них равна d1 (1d15), а степени всех остальных вершин –d2 (d2<d1). Доказать, что графы H и G изоморфны.

М.

Доказать, что в мультиграфе всякий замкнутый маршрут нечётной длины l (l>2) содержит простой цикл. Справедливо ли аналогичное утверждения для маршрутов чётной длины?

Д.

Изобразить все попарно неизоморфные 6-вершинные графы без петель и кратных рёбер, состоящие а) из 4 компонент; б) из 3 компонент; в) из одной компоненты и имеющие 7 рёбер и ровно 2 висячие вершины.

Ц.

Граф (без петель и кратных рёбер) называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе. Показать, что число вершин в самодополнительном графе либо кратно четырем (равно 4z, z>0) либо равно 4z+1 (z>-1).

Ш.

Сколько существует попарно неизоморфных графов без петель и кратных рёбер, в которых: а) n=6 m=7 и p=2 (p – число компонент связности); б) n=8 и сумма степеней всех вершин >52?

Ж.

Сколько существует попарно неизоморфных, не имеющих петель и кратных рёбер, кубических (все вершины степени 3) графов с 6 вершинами? c 8?

К.

Показать, что в любом графе без петель и кратных рёбер, содержащем не менее 2 вершин, найдутся как минимум 2 вершины с одинаковыми степенями.

С.

Доказать, что всякий связный псевдограф, имеющий не менее двух вершин, содержит вершину, не являющуюся разделяющей. Висячие вершины в графе – не разделяющие. Если их в графе нет, то удалять из циклов рёбра до тех пор, пока они не появятся.

Ч.

Граф (без петель и кратных рёбер) называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе. Доказать, что среди 4-вершинных графов самодополнительным является один, а среди 5-вершинных – два.

Г.

Построить все попарно неизоморфные 5-вершинные графы, не имеющие петель, кратных рёбер и изолированных вершин.

Ъ.

Граф (без петель и кратных рёбер) называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе. Доказать, что самодополнительный граф связен.

Е.

Сколько существует попарно неизоморфных 6-вершинных графов без петель и кратных рёбер с набором степеней вершин: 2, 2, 3, 3, 3, 5?

Л.

Доказать, что n>2 n-вершинный связный граф без петель и кратных рёбер, содержащий (n-1) вершин с неравными друг другу степенями.

Б.

nj – число вершин степени j в графе. Построить все попарно неизоморфные графы без петель и кратных рёбер, у которых: а) n2=1 n3=n4=2 (n=5); б) n2=3 n3=2 n4=1 (n=6).

Х.

Вершина называется разделяющей, если после её удаления в графе увеличивается число компонент связности. Доказать, что если вершина является разделяющей в графе, то она не является разделяющей в дополнении графа. Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе.

О.

Индукцией по n доказать, что связный псевдограф с n вершинами содержит не менее

(n-1) рёбер (n>0).

Ы.

Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе. Расстояние между вершинами – это длина кратчайшей цепи, соединяющей их. Диаметр графа – это max расстояний в нём. Доказать, что диаметр самодополнительного графа не меньше 2 и не больше 3.

S.

Известно, что графы G и H не имеют петель и кратных рёбер, двусвязны (граф k-связен, если при удалении любых (k-1) вершин получается связный граф), содержат 6 вершин и 8 рёбер каждый. У графа G имеется 2 вершины степени 2, а у H – 4 степени 3. Изоморфны ли G и H?

Ф.

Дополнение графа – это граф с те ми же вершинами, но с рёбрами, которых нет в самом графе. Расстояние между вершинами – это длина кратчайшей цепи, соединяющей их. Диаметр графа – это max расстояний в нём. Доказать, что если граф несвязен, или его диаметр не меньше 3, то диаметр дополнения графа не больше 3.

Я.

В двудольном графе вершины разделяются на две доли (n=n1+n2), а рёбра существуют только между вершинами из разных долей. Доказать, что если в двудольном графе без кратных рёбер m>((n-1)/2)иn>1, то граф связен. Доказывать от обратного, посчитать для p=2 число рёбер в двух полных двудольных графах.

З.

Существует ли 6-вершинный граф без петель и кратных рёбер с набором степеней вершин: 2, 2, 2, 4, 5, 5?

В.

Изобразить все попарно неизоморфные 4-вершинные графы без петель и кратных рёбер.