Орграфы: основные понятия

Орграфы – это ориентированные или направленные графы.В орграфе вершины соединяются дугами, причём одна вершина называется началом, а другая концом дуги. Дуга исходит из своего начала и заходит в свой конец. Дуга орграфа называется петлёй, если её начало и конец являются одной и той же вершиной. Дуги называются кратными, если начала и концы у них совпадают. Петли тоже могут быть кратными. Две дуги орграфа составляют симметричную пару дуг, если начало одной из них является концом другой и наоборот.

Аналогично графам, в орпсевдографе могут быть и кратные дуги и петли. В ормультиграфе могут быть только кратные дуги. В орграфе, если это не оговаривается особо, нет ни петель, ни кратных дуг.

Вершины орграфа называются смежными, если их соединяет дуга. Полустепенью исхода вершины является число дуг, для которых эта вершина является началом. Полустепенью захода вершины является число дуг, для которых эта вершина является концом. Если сумма полустепеней исхода и захода вершины равна единицы, то вершина называется висячей. Каждая петля увеличивает полустепени исхода и захода вершины на единицу.

Для орграфов приняты те же обозначения, что и для графов: n – это число вершин в орграфе (n0), аm – это число дуг в нём. В каждом орграфе суммы полустепеней исхода и захода всех вершин в нём равны m, так как вклад каждой дуги в каждую из сумм равен единице. Каждая дуга откуда-то исходит и куда-то заходит.

Изоморфные орграфы тоже отличаются друг от друга только нумерацией вершин. Изоморфный орграф – это тот же самый орграф, только по-другому нарисованный. В изоморфных орграфах числа вершин и рёбер и наборы полустепеней исхода и захода вершин совпадают, но не наоборот.

Путь в орграфе – это последовательность, в которой чередуются вершины и дуги, их соединяющие. Путь может идти только от начала дуги к её концу, против направления дуги путь идти не может. Если нет кратных дуг, то путь можно составить из одних вершин. Число дуг в пути называется его длиной. Незамкнутый путь, в котором все дуги различны, называется цепью. Цепь, в которой все вершины различны, называется простой цепью. Дуга – это простая орцепь длиной единица.

Замкнутый путь, в котором все дуги различны, называется контуром. Контур, в котором все вершины различны, называется простым контуром. Петля – это простой контур длины единица. Симметричная пара дуг образует простой контур длины два.

Если полустепени исхода всех вершин орграфа больше нуля, то в орграфе существует хотя бы один контур. Берём любую вершину, из неё выходит как минимум одна дуга, по этой дуге попадает в следующую вершину пути. Из этой новой вершины тоже исходит как минимум одна дуга, выходим по ней в следующую вершину пути. Опять попадаем в новую вершину и так же выходим из неё по новой дуге. Поскольку число вершин в орграфе конечно, то рано или поздно попадём в вершину, в которой уже были, не обязательно это будет вершина, из которой мы начали путь, и получим контур. Аналогичное рассуждение справедливо и в случае, если полустепени захода всех вершин орграфа больше нуля.

Орподграфом орграфа называется орграф, все вершины и дуги которого содержатся среди вершин и дуг орграфа. Орподграф называется собственным, если он отличен от самого орграфа.

Орграф называется сильно связным, если для каждой пары его вершин существуют пути в обе стороны, их соединяющие. Другими словами, каждая пара вершин сильно связного орграфа входит в контур. Компонентой сильной связности орграфа называется его сильно связный орподграф, не являющийся собственным орподграфом никакого другого сильно связного орподграфа орграфа. Число компонент сильной связности у орграфа тоже обозначается переменной p.

Орграф называется односторонне связным, если для каждой пары его вершин существует соединяющий их путь по крайней мере в одну сторону. Если в орграфе дуги заменить рёбрами, то получим ассоциированный с орграфом граф. Орграф называется слабо связным, если ассоциированный с ним граф является связным.

В полном орграфе для каждой пары вершин существует по крайней мере одна дуга между ними. В полном орграфе могут быть симметричные пары дуг. В турнире для каждой пары вершин существует ровно одна дуга между ними. В турнире не могут быть симметричные пары дуг. Стоком называется вершина полного орграфа или турнира, полустепень исхода которой равна нулю. Истоком называется вершина полного орграфа или турнира, полустепень захода которой равна нулю. В полном орграфе или в турнире могут быть сток, или исток, или и сток и исток, а могут и не быть. В сток можно попасть по дуге из любой вершины полного орграфа или турнира, а из истока можно попасть по дуге в любую вершину полного орграфа или турнира.

Орграф может быть задан своей матрицей смежности A. Матрицей смежности A орграфа называется квадратная матрица порядка n, в которой каждый элемент A=1, если существует дуга из i-й вершины в j-ю, и A=0, если такой дуги нет. Сумма элементов матрицы A равна m – числу дуг в орграфе. Сумма элементов по каждой строке матрицы A равна полустепени исхода соответствующей этой строке вершины орграфа, а сумма элементов по каждому столбцу матрицы A равна полустепени захода соответствующей этому столбцу вершины орграфа.

Контуры в орграфе можно определять как вручную по рисунку орграфа, так и по матрице смежности A орграфа. Все контуры длиной единица (петли) находятся на главной диагонали матрицы смежности A. Все контуры длиной два (симметричные пары дуг) находятся на главной диагонали квадрата матрицы смежности A - A. И так далее. Все контуры орграфа максимальной длины n находятся на главной диагонали n-й степени матрицы смежности A - A. Так что при n=4 для определения контуров орграфа надо получить его матрицу смежности, её квадрат, куб и четвёртую степень.

Матрицей смежности компоненты сильной связности орграфа является квадратная подматрица матрицы смежности самого орграфа, содержащая только строки и столбцы, соответствующие вершинам этой компоненты сильной связности.

Одна вершина орграфа достижима из другой вершины, если существует орцепь (в том числе и длиной единица – дуга) из этой другой вершины в достижимую из неё вершину. Матрицей достижимости T орграфа называется квадратная матрица порядка n, в которой каждый элемент T=1, если j-я вершина достижима из i-й вершины, и T=0 в противном случае. Матрицу достижимости можно получить как вручную из рисунка орграфа, так их из матрицы смежности A орграфа по формуле: T=EAA…A, где E – единичная квадратная матрица порядка n.

Матрицей сильной связности S орграфа называется квадратная матрица порядка n, в которой каждый элемент S=1, если j-а вершина достижима из i-й вершины и, наоборот, i-а вершина достижима из j-й вершины, и S=0 в противном случае. Матрицу сильной связности можно получить как вручную из рисунка орграфа, так их из матрицы достижимости T орграфа по формуле: S=TT, где - это поэлементная операция «and», а T означает операцию транспонирования матрицы T когда строки матрицы становятся её столбцами и наоборот.