Задания по планарности и теореме Эйлера

Ж.

Построить граф с 6 вершинами и 12 рёбрами, содержащий одновременно подграфы, гомеоморфные K и K. Два графа гомеомерфны, если они могут быть получены из одного и того же графа «включением в его рёбра» новых вершин степени 2.

Д.

Граф B- это регулярный граф с 16 вершинами и 32 рёбрами. Все вершины имеют степень 4. Он представляет собой два куба (24 ребра), причём соответствующие вершины кубов соединены рёбрами (ещё 8 рёбер). Планарен ли граф B?

Н.

Проверьте теорему Эйлера для а) колеса с n вершинами (W); б) платоновых графов: тетраэдра (K), куба, октаэдра, додекаэдра; в) графа, образованного вершинами, рёбрами и гранями шахматной доски размеромnn; г) полного двудольного графа с 2 и n вершинами в долях (K).

А.

Три соседа пользуются тремя колодцами (с водой, маслом и повидлом). Чтобы не встречаться, они хотят проложить непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу. Выполнимо ли это?

Б.

Граф G c n вершинами, в котором вершины v и v смежны тогда и только тогда, когда числа i и j взаимно просты (не имеют общих делителей). При каких n графы G планарны?

В.

Докажите, что граф Петерсена не планарен.

М.

Существует ли планарный граф без петель и кратных рёбер, у которого а) 7 вершин и 16 рёбер; б) 8 вершин и 17 рёбер?

Р.

Пусть G – граф, с числом граней, меньшим 12. Доказать, что если степень любой вершины G не меньше трёх, то в G существует грань, ограниченная самое большее четырьмя рёбрами.

С.

Доказать, что если граф содержит не менее 11 вершин, то он сам и его дополнение одновременно не могут быть планарны. Это верно и для 9 вершин (без доказательства). Построить граф с 8 вершинами так, чтобы и он сам и его дополнение были планарны. Дополнение графа – вершины те же, а рёбра только те, которых нет в самом графе.

Т.

Какое наибольшее число граней может быть у 5-вершинного графа? Изобразите его.

У.

Существует ли 6-вершинный граф, у которого 9 граней? Построить все попарно неизоморфные 6-вершинные графы, имеющие 8 граней.

Х.

Доказать, что в каждом планарном графе без петель и кратных рёбер есть вершина степени не большей, чем 5.

Ф.

Графы G и G имеют 6 вершин и одинаковое число граней. У G 4 вершины степени 4 и 2 вершины степени 3. У G 2 вершины степени 5, а остальные вершины имеют степень, меньше 5. Какие степени могут быть у остальных вершин G? Изобразить все G и G.

Ц.

Граф, все грани которого треугольники, называется триангуляцией. Доказать, что триангуляция с n>2 вершинами имеет 3n-6 рёбер и 2n-4 граней.

Ч.

Доказать, что если у графа каждый простой цикл содержит не менее k рёбер (k>2), то m<(k(n-2)/(k-2)) +1. m – число рёбер в графе.

Ъ.

Доказать, что в любом планарном графе, имеющим не менее 4 вершин, найдутся хотя бы 4 вершины, степени которых не больше 5.

Ы.

Граф называется k-связным, если при удалении (k-1) его вершин получается связный граф. Доказать, что 6-связных планарных графов (без петель и кратных рёбер) не существует.

Ь.

Доказать, что кубический граф (степени всех вершин равны 3), граница каждой грани которого имеет не менее 5 вершин, содержит по крайней мере 20 вершин. Привести пример такого графа.

Э.

Пусть для кубического графа (степени всех вершин равны 3) f (i>2) – число граней с i рёбрами. Доказать, что (6-i)f=12.

Ю.

Толщина графа – минимальное число планарных графов, объединение которых даёт граф. Найти толщину графа Петерсена.

Я.

Толщина графа – минимальное число планарных графов, объединение которых даёт граф. Доказать, что всякий непланарный граф гомеоморфен некоторому графу толщины 2. Два графа гомеомерфны, если они могут быть получены из одного и того же графа «включением в его рёбра» новых вершин степени 2.

S.

Толщина графа – минимальное число планарных графов, объединение которых даёт граф. Доказать, что для полного графа с n вершинами (K) его толщинаt(K)[(n+7)/6], где [x] – целая часть x. Доказать, что при n<9 имеет место равенство, а при n=9 и n=10 – строго неравенство.

О.

У графа 4 грани. Перерисуйте граф 4 раза так, чтобы бесконечной гранью стала по очереди каждая грань.

К.

Какое наименьшее число вершин надо удалить из графов, чтобы получились планарные графы: а) граф Петерсена

б)

Л.

Какое наименьшее число рёбер надо удалить из графов, чтобы получились планарные графы: а) граф Петерсена

б) K; в) B. Граф B- это регулярный граф с 16 вершинами и 32 рёбрами. Все вершины имеют степень 4. Он представляет собой два куба (24 ребра), причём соответствующие вершины кубов соединены рёбрами (ещё 8 рёбер).

Е.

При каких n графы планарны? А)

n «секций», каждая «секция» – полный граф K. Получится 2(n+1) вершин 4 крайних вершины имеют степень 3, а остальные – степень 5.

Б) то же, как и в А), только две крайние вершины соединены ребром. Итого, из четырёх крайних вершин 2 имеют теперь степень 4.

З.

Построить все попарно неизоморфные не планарные графы без петель и кратных рёбер, содержащие 6 вершин и 11 рёбер.

G.

Рёберный граф L(G) графа G имеет столько вершин, сколько рёбер у графа G (n=m). Вершины в L(G) смежны тогда и только тогда, когда соответствующие им рёбра смежны в G. Доказать, что если G не планарен, то и L(G) не планарен. Если G планарен, всегда ли L(G) планарен?

И.

Построить однородный (регулярный, все степени вершин равны) 9-вершинный граф без петель и кратных рёбер, который не планарен вместе со своим дополнением. Дополнение графа – вершины те же, а рёбра только те, которых нет в самом графе.

П.

Пусть G – граф многогранника, все грани которого ограничены пятиугольниками и шестиугольниками. Что можно сказать о числе пятиугольников? Доказать, что если в каждой вершине сходится точно три грани, то число пятиугольников равно 12.

Г.

Планарны ли эти графы: