Министерство образования и науки

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный институт электроники и математики

(Технический университет)

Кафедра «Вычислительные

системы и сети»

Методические указания к самостоятельным и семинарским занятиям по теории графов

Москва 2006

Составитель: доц., канд. тех. наук Л.Е.Захарова

УДК 519.1

Предназначены для решения задач по теории графов как при самостоятельном изучении теории графов, так и при решении задач на семинарах по теории графов в курсе дискретной математики студентами I (дневного) и II (вечернего) курсов специальности 22.0101.

Теория графов: Метод. указания к самостоятельным и семинарским занятиям по теории графов/ Моск. Гос. ин-т электроники и математики; Сост. Л.Е. Захарова. М., 2006. 30 с.

Ил. 3. Библиогр.: 5 назв.

Графы: основные понятия

Граф – это совокупность не пустого множества точек V, называемых вершинами, и множества X отрезков прямых, соединяющих вершины и называемых рёбрами. N- это граф с n вершинами и без рёбер, или, другими словами, это n изолированных вершин. Ребро графа называется петлёй, если оба конца его являются одной и той же вершиной. Рёбра называются кратными, если концы у них совпадают. Петли тоже могут быть кратными.

В псевдографе могут быть и кратные рёбра и петли. В мультиграфе могут быть только кратные рёбра. В графе, если это не оговаривается особо, нет ни петель, ни кратных рёбер.

Вершины графа называются смежными, если их соединяет ребро. Ребра графа смежны, если имеют общую вершину. Степенью вершины является число рёбер, для которых эта вершина является концом. Если степень вершины единица, то вершина называется висячей. Каждая петля увеличивает степень вершины на два.

Для графов приняты следующие обозначения: n – это число вершин в графе (n0), аm – это число рёбер в нём. В каждом псевдографе (мультиграфе, графе) сумма степеней всех вершин в нём равна 2m, так как вклад каждого ребра в эту сумму равен двойке.

Изоморфные графы отличаются друг от друга только нумерацией вершин. Изоморфный граф – это тот же самый граф, только по-другому нарисованный. В изоморфных графах числа вершин и рёбер и набор степеней вершин совпадают, но не наоборот. Например, существует два разных графа с n=5, m=6 и набором степеней вершин: 2 2 2 3 3, в одном вершины степени три смежны (имеют общее ребро), а в другом нет.

Маршрут в псевдографе – это последовательность, в которой чередуются вершины и рёбра, их соединяющие. Если нет кратных рёбер, то маршрут можно составить из одних вершин. Число рёбер в маршруте называется его длиной. Незамкнутый маршрут, в котором все рёбра различны, называется цепью. Цепь, в которой все вершины различны, называется простой цепью. Ребро – это простая цепь длиной единица.

Замкнутый маршрут, в котором все рёбра различны, называется циклом. Цикл, в котором все вершины различны, называется простым циклом. Петля – это простой цикл длины единица. Кратные рёбра образуют простой цикл длины два.

Если степени всех вершин графа больше единицы, то в графе существует хотя бы один цикл. Берём любую вершину, из неё выходят как минимум два ребра, выходим из этой вершины по любому из рёбер и попадаем в следующую вершину. У этой новой вершины степень как минимум два, выходим из неё по ребру, не совпадающему с тем, по которому в неё попали. Опять попадаем в новую вершину и так же выходим из неё по новому ребру. Поскольку число вершин в графе конечно, то рано или поздно попадём в вершину, в которой уже были, не обязательно это будет вершина, из которой мы начали маршрут, и получим цикл.

Подграфом графа называется граф, все вершины и рёбра которого содержатся среди вершин и рёбер графа. Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.

Псевдограф называется связным, если для каждой пары его вершин существует маршрут, их соединяющий. Компонентой связности графа называется его связный подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного подграфа графа. Число компонент связности у графа обозначается переменной p. У связного графа p=1, у N(графа с n изолированными вершинами) p=n.

Лес – это граф без циклов. Дерево – это связный граф без циклов. Лес, таким образом, состоит из p деревьев. Полный граф содержит все возможные рёбра между n вершинами и обозначается K. Число рёбер у полного графа равно m=n(n-1)/2. В дереве m=n-1, а в лесе m=n-p, так как каждое дерево леса отнимает единицу от числа вершин n.

В двудольном графе вершины разделяются на две доли (n=n1+n2), а рёбра существуют только между вершинами из разных долей. Двудольный граф может быть полным и не полным. В полном двудольном графе, которой обозначается K, существуют все возможные ребра между вершинами из разных долей. Число рёбер в полном двудольном графе равно n1n2.

Граф называется регулярным (или однородным) если все вершины в нём имеют одну и ту же степень. Если из графа удалить вершину вместе с ребрами, для которых она является концом, то получим подграф графа. Вершина графа называется разделяющей, если её удаление увеличивает количество компонент связности.