
Краткий курс математического анализа. Том 1
.pdf
§ 10. Производная и дифференциал |
157 |
Поэтому функции |
f (x) |
и |
f1(x) |
|
|
отличаются друг от друга на множи- |
||||||||||||||||||||||||||||
g(x) |
g1(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тель |
, имеющий в точке x0 предел, равный 1: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ψ(x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
= |
|
ϕ(x) |
|
f1(x) , |
|
|
|
|
|
(9.38) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(x) g1(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
lim ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= |
x→x0 |
|
|
= 1. |
|
|
(9.39) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(x) |
lim ψ(x) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому |
|
f (x) |
и |
f1(x) |
|
одновременно имеют или нет конечный или |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
g(x) |
g1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
бесконечный предел в точке x0. Если он существует, то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
f (x) |
|
= |
|
lim |
|
|
ϕ(x) |
|
lim |
|
f1(x) |
|
|
= |
|
lim |
f1(x) |
. |
||||||||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
g1(x) |
|
|
g1(x) |
|||||||||||||||||||||
|
x→x0 |
(9.38) x→x0 ψ(x) |
x→x0 |
|
(9.39) x→x0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
П р и м е р 6. Найдем lim |
ln(1 + x) |
. Поскольку |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
то |
|
|
|
ln(1 + x) x, |
|
|
sin 2x 2x, |
x → 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
ln(1 + x) |
= lim |
|
x |
= |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
sin 2x |
|
|
|
|
x→x0 2x |
2 |
|
|
|
З а м е ч а н и е 2. Понятия функции, ограниченной по сравнению с другой функцией, функций одного порядка, функций, эквивалентных между собой, функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией, переносятся и на случай комплекснозначных функций комплексного аргумента. Все сформулированные выше определения остаются по форме прежними, только аргумент и значения рассматриваемых функций могут принимать комплексные значения и предел понимания в смысле предела функций комплексного переменного (см. п. 6.14).
Остаются верными и аналоги теорем 1 и 2. Правда, многие из данных выше примеров нуждаются в определениях рассматриваемых в них функций (синуса, косинуса и т.д.) для комплексных значений аргумента; к этому мы вернемся в п. 41.4.
§10. Производная и дифференциал
10.1.Определение производной. Пусть функция y = f (x)
задана в окрестности U (x0) точки x0 R, x U (x0) и, следовательно,
функция
f (x) − f (x0)
x − x0
◦
определена на проколотой окрестности U (x0).

158Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Оп р е д е л е н и е 1. Если существует предел
lim |
f (x) − f (x0) |
, |
x→x0 |
x − x0 |
то он называется производной функции f в точке x0
ся f (x0).
Таким образом,
f (x0) def= lim f (x) − f (x0) .
x→x0
и обозначает-
(10.1)
Образно говоря, это равенство означает, что производная f (x0) функции y = f (x) в точке x0 равна скорости изменения переменной y относительно переменной x в указанной точке.
Если положить x = x − x0, y = f (x) − f (x0) = f (x0 + x) − − f (x0), не писать аргумент и обозначить производную через y , то
получим определение (10.1) в виде
y = lim |
y . |
(10.2) |
0 |
x |
|
x→ |
|
|
Иногда производная обозначается не только штрихом, но еще указывается в виде нижнего индекса переменная, по которой берется
производная, т. е. пишут yx, а также просто yx.
Если предел (10.1) равен ∞, +∞ и −∞, то производная f (x0) называется бесконечной.
Всегда, когда говорится о существовании производной (конечной или бесконечной) в некоторой точке, подразумевается (согласно определению производной), что функция определена в какой-то окрестности рассматриваемой точки.
Под производной всегда понимается конечная производная: в случае, когда допускаются бесконечные производные (определенного знака или знаконеопределенные), это специально оговаривается.
Если функция f определена на некотором отрезке [a, b], то под ее
производной в точках x0 = a и x0 = b обычно понимается соответст- |
||||||
венно предел справа или слева отношения |
f (x) − f (x0) |
при |
x |
→ |
x |
. |
x − x0 |
|
0 |
|
Эти пределы называют также производными соответственно справа и слева.
Операция вычисления производной функции называется операци-
ей дифференцирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П р и м е р ы. 1. |
y = c |
— |
постоянная функция. Имеем |
y = c |
− |
c = |
||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 0, следовательно, y = |
lim |
|
|
|
= 0, т. е. c = 0. |
|
|
|
||||||||
0 x |
|
|
|
|||||||||||||
2. y = sin x. Имеем |
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
− |
|
|
|
= cos x + 2x |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
= |
sin(x + |
x |
sin x |
x/2 |
, |
|
|
|||||||
|
y |
|
x) |
|
|
|
|
sin(Δx/2) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

§ 10. Производная и дифференциал |
159 |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
= |
lim |
y |
= |
lim |
cos x + |
x |
lim |
sin(Δx/2) |
= cos x, |
||
x |
2 |
x/2 |
||||||||||
|
x→0 |
|
x→0 |
|
x→0 |
(9.1) |
т. е. (sin x) = cos x.
Аналогично,
(cos x) = − sin x.
3. y = ax, a > 0. Имеем
|
y |
= |
ax+Δx − ax |
= ax a x − 1 |
, |
||||
|
x |
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
поэтому |
|
y |
|
|
|
a x − 1 |
|
|
|
y = lim |
|
= ax |
lim |
|
= |
ax ln a. |
|||
|
x |
||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
x |
(9.16) |
|||
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
Таким образом, (ax) = ax ln a, в частности (ex) = ex.
10.2. Дифференциал функции.
О п р е д е л е н и е 2. Функция y = f (x), заданная в некоторой окрестности U (x0) точки x0 R, называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение
y = f (x0 + x) − f (x0), |
x = x − x0, |
|
представимо в этой окрестности в виде |
|
|
y = A x + o(Δx), |
x → 0, |
(10.3) |
где A — постоянная.
Линейная функция A x (аргумента x) называется дифференциалом функции f в точке x0 и обозначается df (x0) или, короче, dy.
Таким образом,
y = dy + o(Δx), |
x → 0, |
(10.4) |
dy = A |
x. |
(10.5) |
Так как при A = 0 имеет место равенство (двустороннее) |
||
o(Δx) = o(A x), |
|
|
то из соотношения (10.3) при A = 0 |
следует, что |
y = dy + o(dy), |
x → 0, т. е. что функции y и dy переменной x эквивалентны при x → 0 (см. теорему 1 в п. 9.3), причем, dy — линейная функция аргумента x, а y, вообще говоря, — функция более сложной структуры. Для симметрии записи приращение независимого переменного x
def |
|
|
обозначается dx, т. е. dx = |
x. Поэтому формулу (10.5) можно запи- |
|
сать в виде |
dy = A dx. |
(10.6) |
|

160 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Вспомнив определение o(Δx) (см. определение 3 в п. 9.2), условие (10.3) можно переписать в виде
y = A |
x + ε(Δx)Δx, |
(10.7) |
lim |
ε(Δx) = 0. |
(10.8) |
x→0 |
|
|
В равенстве y − A x = ε(Δx)Δx функция ε(Δx) определена для тех x, для которых определены функции y − A x и x в формуле (10.3) (см. определение 2 в п. 9.2), т. е. для всех таких x, что x0 + x U (x0) (см. определение 2), в частности для x = 0. Именно по множеству таких x и существует предел (10.8), а так как точка
x = 0 принадлежит этому множеству, то функция ε(Δx) непрерывна
в этой точке (см. п. 6.2), и, следовательно, в силу (10.8) имеем |
|
ε(0) = 0. |
(10.9) |
Те о р е м а 1. Функция дифференцируема в некоторой |
точке |
f (x0) = A. |
(10.12) |
в том и только том случае, когда она в этой точке имеет конечную |
|
производную. |
|
1) Пусть у функции f существует конечная производная f (x0),
т. е. существует конечный предел lim |
y |
= f (x0). Это равносильно |
||||||
x |
||||||||
тому, что |
0 |
|
|
|||||
|
y |
x→ |
|
|
|
|||
|
|
|
= f (x0) + ε(Δx), |
(10.10) |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
||
где |
lim |
ε(Δx) = 0 (левая часть формулы (10.10) не определена |
||||||
при |
x→0, x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
x = 0, следовательно, и функция ε(Δx) не определена при x = |
||||||||
= 0). Поэтому |
y = f (x0)Δx + ε(Δx)Δx. |
|
||||||
|
|
|
||||||
Доопределив функцию ε(Δx) нулем в точке x = 0, |
т. е. положив |
|||||||
ε(0) = 0, получим |
|
|
|
|||||
|
|
ε(Δx)Δx = o(Δx), |
|
x → 0, |
|
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|||||
|
|
y = f (x0)Δx + o(Δx), |
x → 0. |
(10.11) |
Это и есть условие (10.3) дифференцируемости функции f в точке x0, причем
2) Пусть теперь, наоборот, функция f дифференцируема в точке x0, т. е. выполняется условие (10.3), или, что то же самое, условия
(10.7), (10.8). Тогда при x = 0 будем иметь xy = A + ε(Δx), откуда
lim |
y |
= A, |
|
||
x→0 |
x (10.8) |

§ 10. Производная и дифференциал |
161 |
т. е. в точке x0 у функции f существует производная, причем имеет место равенство (10.12).
З а м е ч а н и е 1. Из формул (10.6) и (10.12) следует, что дифференциал dy функции y = f (x) записывается в виде
dy = f (x0)dx, |
(10.13) |
|
а производная — в виде |
dy . |
|
f (x0) = |
(10.14) |
|
|
dx |
|
Те о р е м а 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.
Если функция f дифференцируема в точке x0, т. е. в этой точке выполня-
ется условие (10.7), (10.8), то из него сразу следует, что
lim y = 0,
x→0
а это и означает непрерывность функции f в точке x0.
З а м е ч а н и е 2. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке,
но не дифференцируемые. Например, функция y = |x| непрерыв-
на в точке x = 0, ибо в этой точке |
y = | |
x| (рис. 73), и потому |
|||||||||||||
lim |
y = lim |
x |
| |
= 0. |
Однако |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 0 |
x 0 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
→ |
→ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
lim |
|
= |
1, |
lim |
|
|
1, |
||||||
|
|
|
x |
0 |
|
x |
|||||||||
|
|
x |
+0 |
|
|
x |
→− |
|
= − |
||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и, следовательно, предел отношения |
xy |
при |
x → 0 не существует. |
10.3. Геометрический смысл производной и дифферен-
циала. Пусть функция f определена в некоторой окрестности U (x0) |
||
точки x0, непрерывна в этой |
точке, y0 = f (x0) и M0 = (x0, y0) |
|
(рис. 74). Зафиксируем произвольно при- |
||
ращение аргумента x, лишь |
бы x0 + |
|
+ x U (x0), и пусть |
|
|
y = f (x0 + x) − f (x0), |
|
|
M = (x0 + x, y0 + y). |
|
|
Уравнение прямой, проходящей через |
|
|
точки M0 и M , — она называется секущей |
|
|
(графика функции f ) — имеет вид |
|
|
y = xy (x − x0) + y0. |
(10.15) |
|
|
6 Л. Д. Кудрявцев

162 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Подчеркнем, что здесь x фиксировано, а x и y — текущие координаты точек прямой.
Если задано семейство прямых уравнениями
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0, |
(10.16) |
где t — параметр (в случае уравнения (10.15) параметром служит x), и существуют конечные пределы
lim a(t) = a0, |
lim b(t) = b0, |
lim c(t) = c0, |
t→t0 |
t→t0 |
t→t0 |
то говорят, что прямые (10.16) стремятся при t → t0 к предельному положению — к прямой, уравнением которой является уравнение
a0x + b0y + c0 = 0.
Для того чтобы секущая (10.15) при x → 0 стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необхо-
димо и достаточно, чтобы существовал конечный предел lim |
y |
, |
|
x |
|||
0 |
|
||
x→ |
|
|
т. е. чтобы существовала конечная производная. При этом уравнение предельного положения секущей, которое называется касательной
к графику функции f в точке M0, имеет вид
y = f (x0)(x − x0) + y0. |
(10.17) |
Отметим, что из непрерывности функции f в точке x0 следует, что
lim |
0 |
y = |
0, |
а поскольку |M0M | = |
x |
2 |
+ |
y |
2 |
, |
то и |
lim |
|M0M | = |
|||||
x |
→ |
|
|
|
|
x 0 |
||||||||||||
= |
|
|
|
|
M |
|
точке M |
|
|
|
|
|
→ |
|
||||
0, |
|
т. е. точка |
«стремится к |
» по графику функции f. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вспомнив геометрический смысл коэффициента при x − x0 в урав-
нении (10.17), получим
f (x0) = tg α,
где α — угол наклона касательной к оси Ox (см. рис. 74). Обозначим ординату касательной через yкас; тогда, положив x −
− x0 = x, запишем уравнение касательной (10.17) в виде yкас − y0 = f (x0)Δx.
В правой части этого равенства стоит дифференциал dy функции f в точке x0. Таким образом,
dy = yкас − y0 |
(10.18) |
—дифференциал функции равен приращению ординаты касательной. Рассмотрим случай бесконечной производной
f (x0) = ∞. |
(10.19) |

§ 10. Производная и дифференциал |
163 |
Из уравнения секущей (10.15) имеем
|
y |
= x − x0 + |
|
y0 |
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
y |
|
|
y |
|
||
|
x |
|
|
x |
Переходя здесь к пределу при x → 0, в случае выполнения условия (10.19) получим уравнение предельного положения секущей, т. е. касательной к графику функции f в точке x0, в виде
x = x0, |
(10.20) |
т. е. касательная в этом случае является вертикальной прямой, проходящей через точку x0 оси абсцисс (рис. 75).
10.4. Физический смысл производной и дифференциала.
Пусть значения y функции f и ее аргумент x являются некоторыми физическими величинами, причем аргумент x меняется на неко-
тором промежутке, например на отрезке [a, b]. Отношение y , где
x = x − x0, x0 [a, b], x [a, b], |
y = f (x0 + |
x |
x) − f (x0), называется |
средней скоростью изменения переменной y относительно перемен-
ной x на отрезке с концами x0 |
и x0 + x, а предел |
||
lim |
y |
= f (x0) |
|
x |
|||
0 |
|
||
x→ |
|
|
— скоростью изменения переменной y относительно переменной x
в точке x0. В случае существования этой скорости (т. е. в случае существования производной функции f в точке x0) приращение y переменной y имеет вид
y = f (x0)Δx + o(Δx), x → 0.
Это означает, что приращение y линейно зависит от приращения x переменной x с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем x.
Иначе говоря, существование скорости означает, что в малом физический процесс, описываемый функцией f , протекает почти
6*

164 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
линейно. Этим обстоятельством и объясняется широкое применение дифференциального исчисления при изучении самых разнообразных
явлений.
П р и м е р ы. 1. Если s = s(t) — длина пути, проходимого материальной точкой за время t, отсчитываемое от некоторого момента времени
t0, s = s(t + t) − s(t) (рис. 76), то |
|
s |
назы- |
||
|
t |
||||
вается в физике величиной средней скорости |
|||||
движения за промежуток времени |
t, начиная |
||||
с момента времени t, и обозначается vср = |
s |
. |
|||
|
t
Предел же lim vср = v называется величиной
t→0
мгновенной скорости движения в момент времени t. Таким образом, v = dsdt .
Дифференциал ds = v t равен пути, который прошла бы рассмат-
риваемая точка за промежуток времени t, начиная с момента t, если бы движение на этом участке пути было равномерно со скоростью v. Этот путь отличается от истинного пути s на бесконечно малую более высокого порядка, чем t: s = ds + o(Δt),
2. Если q = q(t) — количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q = = q(t + t) − q(t) равно количеству электричества, протекающего через указанное сечение за промежуток времени от момента t до мо-
мента t + |
t. Отношение |
|
q |
называется средней силой тока за ука- |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
занный промежуток времени длительностью t и обозначается Iср. |
||||
Предел же |
lim Iср = I |
называется силой тока в данный момент |
||
|
t→0 |
|
|
dq |
времени t. Таким образом, I = dt .
Дифференциал dq = I t равен количеству электричества, которое
бы протекло через поперечное сечение проводника за промежуток времени t, если бы сила тока была постоянной и равной силе тока в момент времени t. Как всегда, q − dq = o(Δt),
10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Те о р е м а 3. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) заданы в окрестности точки x0 R, а в самой точке x0 имеют конечные
производные, то функции λ1f1(x) + λ2f2(x), λ1 R, λ2 R, f1(x)f2(x),
|
f2(x0) = 0 и функции |
f1 |
(x) |
|
|
а в случае |
|
|
также имеют в точке x0 |
||
f2 |
(x) |
||||
конечные производные; при этом имеют место формулы |
|
||||
|
(λ1y1 + λ2y2) = λ1y1 + λ2y2, |
(10.21) |
|||
|
(y1y2) = y1y2 + y1y2, |
(10.22) |

§ 10. Производная и дифференциал |
165 |
|
y1 |
|
= |
y1y2 − y1y2 |
(10.23) |
|
y2 |
|
|||||
|
y22 |
|
(в формулах (10.21)–(10.23) значения всех функций взяты при x = x0).
Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке x0 существуют конечные пределы
|
lim |
|
y1 |
|
= y |
, |
|
lim |
y2 |
= y . |
|
||||||
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
0 |
|
|
x |
1 |
|
0 |
2 |
|
|||||||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
|||
Докажем теперь последовательно формулы (10.21)–(10.23). |
|
||||||||||||||||
1) Пусть y = λ1y1 + λ2y2; |
тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = (λ1(y1 + y1) + λ2(y2 + y2)) − (λ1y1 + λ2y2) = λ1 y1 + λ2 y2 |
|||||||||||||||||
и, следовательно, |
|
y |
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
y2 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
= λ1 |
|
|
+ λ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
Перейдя здесь к пределу при x → 0, получим формулу (10.21). |
|||||||||||||||||
2) Пусть y = y1y2; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = (y1 + y1)(y2 + y2) − y1y2 = y2 y1 + y1 y2 + y1 y2, |
|||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
= |
|
y1 |
|
y2 + y1 |
|
y2 |
+ |
y1 |
y2. |
(10.24) |
|||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
Заметив, что в силу непрерывности функции f2 в точке x0 выпол- |
||||||
няется условие lim y2 = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу |
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
при x → 0, получим формулу (10.22). |
|
|||||
3. Пусть f2(x0) = 0 и y = y1/y2; |
тогда |
|
||||
y = y1 + y1 |
− |
y1 |
= y2 y1 − y1 y2 |
, |
||
|
y2 + y2 |
y2 |
|
y2(y2 + y2) |
|
следовательно,
y= y1 y2 − y1
x x . x y2(y2 + y2)y2
Перейдя здесь к пределу при x → 0, получим формулу (10.23). Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0 (так же, как и из
формулы (10.22), когда функция y2 равна постоянной, а поэтому y2 = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.
(λy) = λy , λ |
. |
|
R |

166Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пр и м е р. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим
(tg x) = |
sin x |
= |
cos |
2 x + sin2 x |
1 |
|
||||||
|
|
|
= |
|
. |
|||||||
cos x |
|
|
cos2 x |
cos2 x |
||||||||
Итак, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
(tg x) = |
|
|
|
. |
(10.25) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cos |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
Аналогично вычисляется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ctg x) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
−sin2 x . |
|
|
|
З а м е ч а н и е. Поскольку dy = y dx, то, умножая формулы (10.21)–(10.23) на dx, получим
d(λ1y1 + λ2y2) = λ1 dy1 + λ2 dy2, d(y1y2) = y2 dy1 + y1 dy2,
d |
y1 |
= |
y2 dy1 − y1 dy2 |
. |
|
y2 |
|
y22 |
10.6. Производная обратной функции.
Те о р е м а 4. Если функция f непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производную f (x0) = 0, то обратная функция f −1 имеет производную в точке y0 = f (x0) и
df |
−1(y0) |
= |
1 |
. |
(10.26) |
|
dy |
df (x0) |
|||
|
|
|
|
dx
Пусть функция f строго монотонна и непрерывна в окрестности U = U (x0) точки x0; тогда обратная функция f −1 строго монотонна и непрерывна на интервале V = f (U ) (см. теорему 4 п. 7.3). Поэтому
если |
|
x = x |
− |
x |
, |
|
|
y = y |
− |
y , |
то для функции |
|
y = f (x) имеет место |
||||||||||||||||||||||||
|
y = 0 |
0 |
|
= 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
(y) |
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
и |
y |
при |
x |
= 0, |
а для функции |
x = f − |
— соот- |
||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
→ |
|
|
lim |
|
|
x = 0 |
и |
|
x = 0 |
при |
y = 0. |
Заметив это, вычислим |
|||||||||||||||||||||||||
ветственно |
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производную обратной функции следующим образом: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
= |
lim |
|
|
|
x |
= |
lim |
|
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
. |
(10.27) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dy |
|
y=y0 |
y 0 |
|
|
y |
|
|
x 0 |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
x |
|
|
x |
|
0 |
x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x=x0 |
|
|
|
|
||
|
З а м е ч а н и е. Если функция f непрерывна и |
строго монотонна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в окрестности точки x0 |
и существует f (x0) = 0, то обратная функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ция f −1 имеет в точке y0 = f (x0) бесконечную производную |
df |
−1(y0) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ∞. Это сразу следует из соотношения (10.27). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
П р и м е р ы. 1. Если
y = arcsin x, −1 x 1, −π2 y π2 , x = sin y,