Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Краткий курс математического анализа. Том 1

.pdf
Скачиваний:
825
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
5.57 Mб
Скачать

§ 10. Производная и дифференциал

157

Поэтому функции

f (x)

и

f1(x)

 

 

отличаются друг от друга на множи-

g(x)

g1(x)

 

 

 

ϕ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тель

, имеющий в точке x0 предел, равный 1:

 

 

ψ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

=

 

ϕ(x)

 

f1(x) ,

 

 

 

 

 

(9.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ(x) g1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(x)

 

 

 

 

 

lim ϕ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

x→x0

 

 

= 1.

 

 

(9.39)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ(x)

lim ψ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→x0

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

f (x)

и

f1(x)

 

одновременно имеют или нет конечный или

 

 

 

g(x)

g1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бесконечный предел в точке x0. Если он существует, то

 

 

lim

f (x)

 

=

 

lim

 

 

ϕ(x)

 

lim

 

f1(x)

 

 

=

 

lim

f1(x)

.

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

g1(x)

 

 

g1(x)

 

x→x0

(9.38) x→x0 ψ(x)

x→x0

 

(9.39) x→x0

 

П р и м е р 6. Найдем lim

ln(1 + x)

. Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→x0

 

sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

ln(1 + x) x,

 

 

sin 2x 2x,

x → 0,

 

 

 

 

 

 

 

lim

ln(1 + x)

= lim

 

x

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→x0

 

sin 2x

 

 

 

 

x→x0 2x

2

 

 

 

З а м е ч а н и е 2. Понятия функции, ограниченной по сравнению с другой функцией, функций одного порядка, функций, эквивалентных между собой, функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией, переносятся и на случай комплекснозначных функций комплексного аргумента. Все сформулированные выше определения остаются по форме прежними, только аргумент и значения рассматриваемых функций могут принимать комплексные значения и предел понимания в смысле предела функций комплексного переменного (см. п. 6.14).

Остаются верными и аналоги теорем 1 и 2. Правда, многие из данных выше примеров нуждаются в определениях рассматриваемых в них функций (синуса, косинуса и т.д.) для комплексных значений аргумента; к этому мы вернемся в п. 41.4.

§10. Производная и дифференциал

10.1.Определение производной. Пусть функция y = f (x)

задана в окрестности U (x0) точки x0 R, x U (x0) и, следовательно,

функция

f (x) − f (x0)

x − x0

определена на проколотой окрестности U (x0).

x − x0

158Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Оп р е д е л е н и е 1. Если существует предел

lim

f (x) − f (x0)

,

x→x0

x − x0

то он называется производной функции f в точке x0

ся f (x0).

Таким образом,

f (x0) def= lim f (x) − f (x0) .

x→x0

и обозначает-

(10.1)

Образно говоря, это равенство означает, что производная f (x0) функции y = f (x) в точке x0 равна скорости изменения переменной y относительно переменной x в указанной точке.

Если положить x = x − x0, y = f (x) − f (x0) = f (x0 + x) − − f (x0), не писать аргумент и обозначить производную через y , то

получим определение (10.1) в виде

y = lim

y .

(10.2)

0

x

 

x→

 

 

Иногда производная обозначается не только штрихом, но еще указывается в виде нижнего индекса переменная, по которой берется

производная, т. е. пишут yx, а также просто yx.

Если предел (10.1) равен , +и −∞, то производная f (x0) называется бесконечной.

Всегда, когда говорится о существовании производной (конечной или бесконечной) в некоторой точке, подразумевается (согласно определению производной), что функция определена в какой-то окрестности рассматриваемой точки.

Под производной всегда понимается конечная производная: в случае, когда допускаются бесконечные производные (определенного знака или знаконеопределенные), это специально оговаривается.

Если функция f определена на некотором отрезке [a, b], то под ее

производной в точках x0 = a и x0 = b обычно понимается соответст-

венно предел справа или слева отношения

f (x) − f (x0)

при

x

x

.

x − x0

 

0

 

Эти пределы называют также производными соответственно справа и слева.

Операция вычисления производной функции называется операци-

ей дифференцирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р ы. 1.

y = c

постоянная функция. Имеем

y = c

c =

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

= 0, следовательно, y =

lim

 

 

 

= 0, т. е. c = 0.

 

 

 

0 x

 

 

 

2. y = sin x. Имеем

x→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= cos x + 2x

 

 

 

 

 

x

=

sin(x +

x

sin x

x/2

,

 

 

 

y

 

x)

 

 

 

 

sin(Δx/2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 10. Производная и дифференциал

159

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

lim

y

=

lim

cos x +

x

lim

sin(Δx/2)

= cos x,

x

2

x/2

 

x→0

 

x→0

 

x→0

(9.1)

т. е. (sin x) = cos x.

Аналогично,

(cos x) = sin x.

3. y = ax, a > 0. Имеем

 

y

=

axx − ax

= ax a x 1

,

 

x

 

 

 

 

x

 

 

x

 

поэтому

 

y

 

 

 

a x 1

 

 

y = lim

 

= ax

lim

 

=

ax ln a.

 

x

x 0

 

 

x 0

 

x

(9.16)

 

 

 

 

 

 

Таким образом, (ax) = ax ln a, в частности (ex) = ex.

10.2. Дифференциал функции.

О п р е д е л е н и е 2. Функция y = f (x), заданная в некоторой окрестности U (x0) точки x0 R, называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение

y = f (x0 + x) − f (x0),

x = x − x0,

 

представимо в этой окрестности в виде

 

 

y = A x + ox),

x → 0,

(10.3)

где A — постоянная.

Линейная функция A x (аргумента x) называется дифференциалом функции f в точке x0 и обозначается df (x0) или, короче, dy.

Таким образом,

y = dy + ox),

x → 0,

(10.4)

dy = A

x.

(10.5)

Так как при A = 0 имеет место равенство (двустороннее)

ox) = o(A x),

 

то из соотношения (10.3) при A = 0

следует, что

y = dy + o(dy),

x → 0, т. е. что функции y и dy переменной x эквивалентны при x → 0 (см. теорему 1 в п. 9.3), причем, dy — линейная функция аргумента x, а y, вообще говоря, — функция более сложной структуры. Для симметрии записи приращение независимого переменного x

def

 

обозначается dx, т. е. dx =

x. Поэтому формулу (10.5) можно запи-

сать в виде

dy = A dx.

(10.6)

 

160 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Вспомнив определение ox) (см. определение 3 в п. 9.2), условие (10.3) можно переписать в виде

y = A

x + εxx,

(10.7)

lim

εx) = 0.

(10.8)

x→0

 

 

В равенстве y − A x = εxx функция εx) определена для тех x, для которых определены функции y − A x и x в формуле (10.3) (см. определение 2 в п. 9.2), т. е. для всех таких x, что x0 + x U (x0) (см. определение 2), в частности для x = 0. Именно по множеству таких x и существует предел (10.8), а так как точка

x = 0 принадлежит этому множеству, то функция εx) непрерывна

в этой точке (см. п. 6.2), и, следовательно, в силу (10.8) имеем

 

ε(0) = 0.

(10.9)

Те о р е м а 1. Функция дифференцируема в некоторой

точке

f (x0) = A.

(10.12)

в том и только том случае, когда она в этой точке имеет конечную

производную.

 

1) Пусть у функции f существует конечная производная f (x0),

т. е. существует конечный предел lim

y

= f (x0). Это равносильно

x

тому, что

0

 

 

 

y

x→

 

 

 

 

 

 

= f (x0) + εx),

(10.10)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

где

lim

εx) = 0 (левая часть формулы (10.10) не определена

при

x→0, x=0

 

 

 

 

 

 

x = 0, следовательно, и функция εx) не определена при x =

= 0). Поэтому

y = f (x0x + εxx.

 

 

 

 

Доопределив функцию εx) нулем в точке x = 0,

т. е. положив

ε(0) = 0, получим

 

 

 

 

 

εxx = ox),

 

x → 0,

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

y = f (x0x + ox),

x → 0.

(10.11)

Это и есть условие (10.3) дифференцируемости функции f в точке x0, причем

2) Пусть теперь, наоборот, функция f дифференцируема в точке x0, т. е. выполняется условие (10.3), или, что то же самое, условия

(10.7), (10.8). Тогда при x = 0 будем иметь xy = A + εx), откуда

lim

y

= A,

 

x→0

x (10.8)

§ 10. Производная и дифференциал

161

т. е. в точке x0 у функции f существует производная, причем имеет место равенство (10.12).

З а м е ч а н и е 1. Из формул (10.6) и (10.12) следует, что дифференциал dy функции y = f (x) записывается в виде

dy = f (x0)dx,

(10.13)

а производная — в виде

dy .

 

f (x0) =

(10.14)

 

dx

 

Те о р е м а 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Если функция f дифференцируема в точке x0, т. е. в этой точке выполня-

ется условие (10.7), (10.8), то из него сразу следует, что

lim y = 0,

x→0

а это и означает непрерывность функции f в точке x0.

З а м е ч а н и е 2. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке,

но не дифференцируемые. Например, функция y = |x| непрерыв-

на в точке x = 0, ибо в этой точке

y = |

x| (рис. 73), и потому

lim

y = lim

x

|

= 0.

Однако

 

 

 

 

 

 

 

x 0

x 0 |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

lim

 

=

1,

lim

 

 

1,

 

 

 

x

0

 

x

 

 

x

+0

 

 

x

→−

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, следовательно, предел отношения

xy

при

x → 0 не существует.

10.3. Геометрический смысл производной и дифферен-

циала. Пусть функция f определена в некоторой окрестности U (x0)

точки x0, непрерывна в этой

точке, y0 = f (x0) и M0 = (x0, y0)

(рис. 74). Зафиксируем произвольно при-

ращение аргумента x, лишь

бы x0 +

 

+ x U (x0), и пусть

 

 

y = f (x0 + x) − f (x0),

 

M = (x0 + x, y0 + y).

 

Уравнение прямой, проходящей через

 

точки M0 и M , — она называется секущей

 

(графика функции f ) — имеет вид

 

y = xy (x − x0) + y0.

(10.15)

 

 

6 Л. Д. Кудрявцев

162 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подчеркнем, что здесь x фиксировано, а x и y — текущие координаты точек прямой.

Если задано семейство прямых уравнениями

a(t)x + b(t)y + c(t) = 0,

(10.16)

где t — параметр (в случае уравнения (10.15) параметром служит x), и существуют конечные пределы

lim a(t) = a0,

lim b(t) = b0,

lim c(t) = c0,

t→t0

t→t0

t→t0

то говорят, что прямые (10.16) стремятся при t → t0 к предельному положению — к прямой, уравнением которой является уравнение

a0x + b0y + c0 = 0.

Для того чтобы секущая (10.15) при x → 0 стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необхо-

димо и достаточно, чтобы существовал конечный предел lim

y

,

x

0

 

x→

 

 

т. е. чтобы существовала конечная производная. При этом уравнение предельного положения секущей, которое называется касательной

к графику функции f в точке M0, имеет вид

y = f (x0)(x − x0) + y0.

(10.17)

Отметим, что из непрерывности функции f в точке x0 следует, что

lim

0

y =

0,

а поскольку |M0M | =

x

2

+

y

2

,

то и

lim

|M0M | =

x

 

 

 

 

x 0

=

 

 

 

 

M

 

точке M

 

 

 

 

 

 

0,

 

т. е. точка

«стремится к

» по графику функции f.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Вспомнив геометрический смысл коэффициента при x − x0 в урав-

нении (10.17), получим

f (x0) = tg α,

где α — угол наклона касательной к оси Ox (см. рис. 74). Обозначим ординату касательной через yкас; тогда, положив x −

− x0 = x, запишем уравнение касательной (10.17) в виде yкас − y0 = f (x0x.

В правой части этого равенства стоит дифференциал dy функции f в точке x0. Таким образом,

dy = yкас − y0

(10.18)

дифференциал функции равен приращению ординаты касательной. Рассмотрим случай бесконечной производной

f (x0) = ∞.

(10.19)

§ 10. Производная и дифференциал

163

Из уравнения секущей (10.15) имеем

 

y

= x − x0 +

 

y0

 

 

 

 

 

 

.

 

y

 

 

y

 

 

x

 

 

x

Переходя здесь к пределу при x → 0, в случае выполнения условия (10.19) получим уравнение предельного положения секущей, т. е. касательной к графику функции f в точке x0, в виде

x = x0,

(10.20)

т. е. касательная в этом случае является вертикальной прямой, проходящей через точку x0 оси абсцисс (рис. 75).

10.4. Физический смысл производной и дифференциала.

Пусть значения y функции f и ее аргумент x являются некоторыми физическими величинами, причем аргумент x меняется на неко-

тором промежутке, например на отрезке [a, b]. Отношение y , где

x = x − x0, x0 [a, b], x [a, b],

y = f (x0 +

x

x) − f (x0), называется

средней скоростью изменения переменной y относительно перемен-

ной x на отрезке с концами x0

и x0 + x, а предел

lim

y

= f (x0)

x

0

 

x→

 

 

скоростью изменения переменной y относительно переменной x

в точке x0. В случае существования этой скорости (т. е. в случае существования производной функции f в точке x0) приращение y переменной y имеет вид

y = f (x0x + ox), x → 0.

Это означает, что приращение y линейно зависит от приращения x переменной x с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем x.

Иначе говоря, существование скорости означает, что в малом физический процесс, описываемый функцией f , протекает почти

6*

t → 0.
t → 0.

164 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

линейно. Этим обстоятельством и объясняется широкое применение дифференциального исчисления при изучении самых разнообразных

явлений.

П р и м е р ы. 1. Если s = s(t) — длина пути, проходимого материальной точкой за время t, отсчитываемое от некоторого момента времени

t0, s = s(t + t) − s(t) (рис. 76), то

 

s

назы-

 

t

вается в физике величиной средней скорости

движения за промежуток времени

t, начиная

с момента времени t, и обозначается vср =

s

.

 

t

Предел же lim vср = v называется величиной

t→0

мгновенной скорости движения в момент времени t. Таким образом, v = dsdt .

Дифференциал ds = v t равен пути, который прошла бы рассмат-

риваемая точка за промежуток времени t, начиная с момента t, если бы движение на этом участке пути было равномерно со скоростью v. Этот путь отличается от истинного пути s на бесконечно малую более высокого порядка, чем t: s = ds + ot),

2. Если q = q(t) — количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q = = q(t + t) − q(t) равно количеству электричества, протекающего через указанное сечение за промежуток времени от момента t до мо-

мента t +

t. Отношение

 

q

называется средней силой тока за ука-

 

 

 

 

 

t

занный промежуток времени длительностью t и обозначается Iср.

Предел же

lim Iср = I

называется силой тока в данный момент

 

t→0

 

 

dq

времени t. Таким образом, I = dt .

Дифференциал dq = I t равен количеству электричества, которое

бы протекло через поперечное сечение проводника за промежуток времени t, если бы сила тока была постоянной и равной силе тока в момент времени t. Как всегда, q − dq = ot),

10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.

Те о р е м а 3. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) заданы в окрестности точки x0 R, а в самой точке x0 имеют конечные

производные, то функции λ1f1(x) + λ2f2(x), λ1 R, λ2 R, f1(x)f2(x),

 

f2(x0) = 0 и функции

f1

(x)

 

а в случае

 

 

также имеют в точке x0

f2

(x)

конечные производные; при этом имеют место формулы

 

 

(λ1y1 + λ2y2) = λ1y1 + λ2y2,

(10.21)

 

(y1y2) = y1y2 + y1y2,

(10.22)

§ 10. Производная и дифференциал

165

 

y1

 

=

y1y2 − y1y2

(10.23)

y2

 

 

y22

 

(в формулах (10.21)–(10.23) значения всех функций взяты при x = x0).

Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке x0 существуют конечные пределы

 

lim

 

y1

 

= y

,

 

lim

y2

= y .

 

 

 

 

x

 

0

 

 

x

1

 

0

2

 

 

x→

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→

 

 

 

Докажем теперь последовательно формулы (10.21)–(10.23).

 

1) Пусть y = λ1y1 + λ2y2;

тогда

 

 

 

 

 

 

y = (λ1(y1 + y1) + λ2(y2 + y2)) (λ1y1 + λ2y2) = λ1 y1 + λ2 y2

и, следовательно,

 

y

 

 

 

 

 

y1

 

 

 

y2 .

 

 

 

 

 

 

 

= λ1

 

 

+ λ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

Перейдя здесь к пределу при x → 0, получим формулу (10.21).

2) Пусть y = y1y2; тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = (y1 + y1)(y2 + y2) − y1y2 = y2 y1 + y1 y2 + y1 y2,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

y1

 

y2 + y1

 

y2

+

y1

y2.

(10.24)

 

 

 

 

x

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Заметив, что в силу непрерывности функции f2 в точке x0 выпол-

няется условие lim y2 = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу

x→0

 

 

 

 

 

при x → 0, получим формулу (10.22).

 

3. Пусть f2(x0) = 0 и y = y1/y2;

тогда

 

y = y1 + y1

y1

= y2 y1 − y1 y2

,

 

y2 + y2

y2

 

y2(y2 + y2)

 

следовательно,

y= y1 y2 − y1

x x . x y2(y2 + y2)y2

Перейдя здесь к пределу при x → 0, получим формулу (10.23). Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0 (так же, как и из

формулы (10.22), когда функция y2 равна постоянной, а поэтому y2 = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.

(λy) = λy , λ

.

 

R

166Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пр и м е р. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим

(tg x) =

sin x

=

cos

2 x + sin2 x

1

 

 

 

 

=

 

.

cos x

 

 

cos2 x

cos2 x

Итак,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(tg x) =

 

 

 

.

(10.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Аналогично вычисляется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ctg x) =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

sin2 x .

 

 

 

З а м е ч а н и е. Поскольку dy = y dx, то, умножая формулы (10.21)–(10.23) на dx, получим

d(λ1y1 + λ2y2) = λ1 dy1 + λ2 dy2, d(y1y2) = y2 dy1 + y1 dy2,

d

y1

=

y2 dy1 − y1 dy2

.

 

y2

 

y22

10.6. Производная обратной функции.

Те о р е м а 4. Если функция f непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производную f (x0) = 0, то обратная функция f 1 имеет производную в точке y0 = f (x0) и

df

1(y0)

=

1

.

(10.26)

 

dy

df (x0)

 

 

 

 

dx

Пусть функция f строго монотонна и непрерывна в окрестности U = U (x0) точки x0; тогда обратная функция f 1 строго монотонна и непрерывна на интервале V = f (U ) (см. теорему 4 п. 7.3). Поэтому

если

 

x = x

x

,

 

 

y = y

y ,

то для функции

 

y = f (x) имеет место

 

y = 0

0

 

= 0

 

 

0

 

 

 

 

 

1

(y)

 

 

lim

 

и

y

при

x

= 0,

а для функции

x = f

— соот-

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

x = 0

и

 

x = 0

при

y = 0.

Заметив это, вычислим

ветственно

y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производную обратной функции следующим образом:

 

 

 

 

 

dx

 

=

lim

 

 

 

x

=

lim

 

 

1

 

 

=

 

1

 

 

=

1

 

 

.

(10.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

y=y0

y 0

 

 

y

 

 

x 0

 

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

0

x

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x=x0

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е. Если функция f непрерывна и

строго монотонна

в окрестности точки x0

и существует f (x0) = 0, то обратная функ-

ция f 1 имеет в точке y0 = f (x0) бесконечную производную

df

1(y0)

=

 

dx

= ∞. Это сразу следует из соотношения (10.27).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р ы. 1. Если

y = arcsin x, 1 x 1, π2 y π2 , x = sin y,