Краткий курс математического анализа. Том 1

З а м е ч а н и е 2. Понятия функции, ограниченной по сравнению с другой функцией, функций одного порядка, функций, эквивалентных между собой, функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией, переносятся и на случай комплекснозначных функций комплексного аргумента. Все сформулированные выше определения остаются по форме прежними, только аргумент и значения рассматриваемых функций могут принимать комплексные значения и предел понимания в смысле предела функций комплексного переменного (см. п. 6.14).

Остаются верными и аналоги теорем 1 и 2. Правда, многие из данных выше примеров нуждаются в определениях рассматриваемых в них функций (синуса, косинуса и т.д.) для комплексных значений аргумента; к этому мы вернемся в п. 41.4.

§10. Производная и дифференциал

10.1.Определение производной. Пусть функция y = f (x)

задана в окрестности U (x0) точки x0 R, x U (x0) и, следовательно,

функция

f (x) − f (x0)

x − x0

◦

определена на проколотой окрестности U (x0).

158Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Оп р е д е л е н и е 1. Если существует предел

Образно говоря, это равенство означает, что производная f (x0) функции y = f (x) в точке x0 равна скорости изменения переменной y относительно переменной x в указанной точке.

Если положить x = x − x0, y = f (x) − f (x0) = f (x0 + x) − − f (x0), не писать аргумент и обозначить производную через y , то

получим определение (10.1) в виде

Иногда производная обозначается не только штрихом, но еще указывается в виде нижнего индекса переменная, по которой берется

производная, т. е. пишут yx, а также просто yx.

Если предел (10.1) равен ∞, +∞ и −∞, то производная f (x0) называется бесконечной.

Всегда, когда говорится о существовании производной (конечной или бесконечной) в некоторой точке, подразумевается (согласно определению производной), что функция определена в какой-то окрестности рассматриваемой точки.

Под производной всегда понимается конечная производная: в случае, когда допускаются бесконечные производные (определенного знака или знаконеопределенные), это специально оговаривается.

Если функция f определена на некотором отрезке [a, b], то под ее

Эти пределы называют также производными соответственно справа и слева.

Операция вычисления производной функции называется операци-

т. е. в точке x0 у функции f существует производная, причем имеет место равенство (10.12).

З а м е ч а н и е 1. Из формул (10.6) и (10.12) следует, что дифференциал dy функции y = f (x) записывается в виде

Те о р е м а 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Если функция f дифференцируема в точке x0, т. е. в этой точке выполня-

ется условие (10.7), (10.8), то из него сразу следует, что

lim y = 0,

x→0

а это и означает непрерывность функции f в точке x0.

З а м е ч а н и е 2. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке,

но не дифференцируемые. Например, функция y = |x| непрерыв-

10.3. Геометрический смысл производной и дифферен-

6 Л. Д. Кудрявцев

162 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подчеркнем, что здесь x фиксировано, а x и y — текущие координаты точек прямой.

Если задано семейство прямых уравнениями

где t — параметр (в случае уравнения (10.15) параметром служит x), и существуют конечные пределы

то говорят, что прямые (10.16) стремятся при t → t0 к предельному положению — к прямой, уравнением которой является уравнение

a0x + b0y + c0 = 0.

Для того чтобы секущая (10.15) при x → 0 стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой, необхо-

т. е. чтобы существовала конечная производная. При этом уравнение предельного положения секущей, которое называется касательной

к графику функции f в точке M0, имеет вид

Отметим, что из непрерывности функции f в точке x0 следует, что

Вспомнив геометрический смысл коэффициента при x − x0 в урав-

нении (10.17), получим

f (x0) = tg α,

где α — угол наклона касательной к оси Ox (см. рис. 74). Обозначим ординату касательной через yкас; тогда, положив x −

− x0 = x, запишем уравнение касательной (10.17) в виде yкас − y0 = f (x0)Δx.

В правой части этого равенства стоит дифференциал dy функции f в точке x0. Таким образом,

—дифференциал функции равен приращению ординаты касательной. Рассмотрим случай бесконечной производной

Из уравнения секущей (10.15) имеем

Переходя здесь к пределу при x → 0, в случае выполнения условия (10.19) получим уравнение предельного положения секущей, т. е. касательной к графику функции f в точке x0, в виде

т. е. касательная в этом случае является вертикальной прямой, проходящей через точку x0 оси абсцисс (рис. 75).

10.4. Физический смысл производной и дифференциала.

Пусть значения y функции f и ее аргумент x являются некоторыми физическими величинами, причем аргумент x меняется на неко-

тором промежутке, например на отрезке [a, b]. Отношение y , где

средней скоростью изменения переменной y относительно перемен-

— скоростью изменения переменной y относительно переменной x

в точке x0. В случае существования этой скорости (т. е. в случае существования производной функции f в точке x0) приращение y переменной y имеет вид

y = f (x0)Δx + o(Δx), x → 0.

Это означает, что приращение y линейно зависит от приращения x переменной x с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем x.

Иначе говоря, существование скорости означает, что в малом физический процесс, описываемый функцией f , протекает почти

6*