Краткий курс математического анализа. Том 2

60Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Оп р е д е л е н и е 2. Пусть функция f определена на произведении

X × Y множеств X Rn и Y Rn, x X, y Y , y(0) Y.

Функция f (x, y) называется равномерно стремящейся к нулю на множестве X при y → y(0), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек x X и всех y U (y(0); δ) ∩ Y выполня-

ется неравенство

|f (x, y)| < ε.

В случае равномерного стремления функции f (x, y) к нулю на множестве X при y → y(0) пишут f (x, y) 0, y → y(0).

X

Равномерное стремление функции f (x, y) к нулю на множестве X при y → y(0) имеет место тогда и только тогда, когда

Действительно, пусть y U (y(0); δ) ∩ Y. Тогда, если |f (x, y)| < ε, x X, то sup |f (x, y)| ε, а если sup |f (x, y)|< ε, то и |f (x, y)| < < ε,

Подробно понятие равномерного стремления функции к пределу на множестве будет изучаться в п. 49.1.

x → 0.

Согласно замечанию 2 в п. 33.4 множество Xd также является компактом, а поэтому непрерывная на нем функция f равномерно непрерывна. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек x Xd, x + x Xd, | x| < δ, выполняется неравенство

|ε(x, x)| = |f (x + x) − f (x)| < ε.

В частности, это верно для всех x X и | x| < δ, если выбрать δ < d, что и означает равномерное стремление к нулю функции ε(x, x):

Сделанное замечание показывает связь понятий равномерной непрерывности и равномерного стремления к нулю. На этой связи основано доказательство нижеследующей теоремы.

Для простоты записи вернемся снова к функциям двух переменных.

Т е о р е м а 4. Если функция f имеет непрерывные частные производные на открытом множестве G R2 и

му 6 в п. 33.3) и не пересекается с компактом X, поэтому (см. теорему 6 в п. 33.4) множества X и Rn \ G находятся на положительном

расстоянии:

d = ρ(X,Rn \ G) > 0.

Пусть Xd/2 = M G : ρ(M , X) d2 . Поскольку множество X — компакт, то и множество Xd/2 — компакт (см. замечание 2 в п. 33.4). Ясно, что

X Xd/2 G.

Частные производные fx и fy функции f , будучи непрерывными на компакте Xd/2, равномерно непрерывны на нем (см. следствие теоремы 2 в п. 35.1) Поэтому для любого η > 0 существует такое

62 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

З а м е ч а н и е 3. Определения дифференцируемости функции и ее дифференциала в точке обобщаются на случай функции любого числа переменных, обобщенной в некоторой окрестности этой точки.

Функция (36.24) при выполнении условия (36.23) называется дифференциалом функции f (x) в точке x(0), а также полным дифферен-

циалом, в отличие от дифференциалов

∂f

dxi f = ∂xi dxi

функции f (x) по отдельным переменным xi, i = 1, 2, ..., n, которые называются частными дифференциалами.

Теоремы 1–4 переносятся на случай функций любого числа переменных.

З а м е ч а н и е 4. Функция, имеющая непрерывные частные производные на некотором множестве, называется непрерывно дифференцируемой на этом множестве. В силу теоремы 3 непрерывно

дифференцируемая на множестве функция дифференцируема на нем.

36.3. Дифференцирование сложной функции. Рассмотрим вначале вопрос о дифференцируемости композиции функции двух переменных и функции одной переменной.

Те о р е м а 5. Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы

вточке t0, а функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0),

где x0 = x(t0), y0 = y(t0), то сложная функция f (x(t), y(t)) дифференцируема в точке t0 и в этой точке

Отметим, что при выполнении условий теоремы в некоторой окрестности точки t0 сложная функция заведомо имеет смысл. В самом деле, согласно определению дифференцируемости функция f определена в некоторой окрестности U точки (x0, y0). Из дифференцируемости же функций x(t) и y(t) в точке t0 следует, что они, а следовательно, и отображение (x(t), y(t)), ставящее в соответствие числу t точку плоскости (x(t), y(t)), определены в некоторой окрестности точки t0 и непрерывны в самой этой точке. Отсюда и из замечания 2 из п. 34.5 сразу следует, что сложная функция f (x(t), y(t)) определена

64 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

В силу непрерывности функций x(t) и y(t) в точке t0 имеем

Следовательно, согласно теореме 6 о пределе композиции функций (п. 34.5) из равенств (36.27) и (36.29) получим

выражение, которое получится в правой части равенства (36.26), будет иметь конечный предел:

З а м е ч а н и е 1. Если в условиях теоремы 1 вместо дифференцируемости функций x = x(t) и y = y(t) в точке t0 потребовать лишь, чтобы они были дифференцируемы справа (слева) в этой точке, то при сохранении прочих условий теоремы сложная функция f (x(t), y(t)) будет также дифференцируема справа (слева) в точке t0 и будет спра-

ведлива формула (36.25), если только под производными dzdt , dxdt , dydt понимать производные справа (слева).

З а м е ч а н и е 2. Если функции x = x(u, v), y = y(u, v) дифференцируемы в точке (u0, v0) и, следовательно, имеют в этой точке част-

66 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Из формулы (36.32) и непрерывности частных производных

y = f (x(t)) имеет в точке t(0) непрерывные частные производные

∂y , j = 1, 2, ..., m, и, следовательно, она дифференцируема.

∂tj

Первое равенство (36.33) следует из определения дифференциала (см. теорему 2 и формулу (36.24)). Докажем второе равенство:

Здесь после того как дифференциал dy был записан по формуле (36.24) через приращения dtj = tj независимых переменных t1, t2, ..., tm, были использованы формулы (36.32) для производных сложных функций. После этого был изменен порядок суммирования

по индексам i и j, а затем снова были использованы формулы (36.24), но уже для функций xi = xi(t), t = (t1, ..., tm), i = 1, 2, ..., n.

Подчеркнем, что в формуле (36.33) дифференциалы dtj являются дифференциалами независимых переменных и поэтому совпадают с их приращениями tj , a dxi — дифференциалы функций; они, вообще говоря, не совпадают с приращениями xi переменных xi.

Свойство дифференциала, выражаемое формулой (36.33), называется инвариантностью формы дифференциала: дифференциал запи-

сывается одинаковым образом, использованы ли в его записи дифференциалы зависимых или независимых переменных.

36.5. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Рассмотрим снова для простоты функцию двух пере-

производной функции одной переменной f (x, y0), является углом между осью x и касательной к графику этой функции (рис. 7), т. е. к кривой

В этом и состоит геометрический смысл частной производной.

Таким образом, дифференциал функции равен приращению аппликаты касательной плоскости к гра-

фику функции:

dz = zкас − z0.

На рис. 8

A0 = (x0, y0), A = (x, y) = (x0 + x, y0 + y),

z0 = f (x0, y0) = A0M0 = AN , z = f (x, y) = AM , zкас = AP

3*

68 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

ча (36.40), соответствующей этому значению параметра, до точки

(x0, y0, z0).

Рассмотрим сужение функции f на луч (36.40), т. е. композицию

(она определена для всех достаточно малых t). Производная справа

В правой части этого равенства стоит производная функции одной переменной. Если M0 = (x0, y0, z0), а M = (x, y, z) — точка луча (36.40) и, следовательно, |M0M | = t, то

Так как все величины в правой части этого равенства не зависят от выбора системы координат (они определяются функцией f , точ-

кой M0 и вектором l), то производная по направлению ∂f∂l в точке M0

функции f , аргументом которой является точка пространства, не зависит от выбора системы координат.

Если существует не только предел справа (36.43), но и двусторонний

Функции (36.40) линейны по t и поэтому, очевидно, дифференцируемы. Следовательно, если функция f дифференцируема в точке (x0, y0, z0), то сложная функция (36.41) дифференцируема в точке t = 0 (теорема 5 из п. 36.3). Вычислив ее производную по формуле производной сложной функции (см. (36.25)), получим

Использовав понятие градиента и скалярного произведения, формулу (36.45) для производной по направлению можно записать следующим образом:

выбора системы координат, как это могло бы показаться из определения (36.46). Если f = 0, то направление градиента f является единственным направлением, по которому в данной точке производ-

ная по направлению ∂f∂l имеет наибольшее значение (оно достигается при ϕ = 0, т. е. когда cos ϕ = 1), а длина градиента f равна этому