Краткий курс математического анализа. Том 2

170 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Напомним, что отображение F называется дифференцируемым в точке x(0) G (см. п. 40.5), если его координатные функции yi = = yi(x1, x2, ..., xn) дифференцируемы в этой точке и, следовательно, их можно представить в виде

Обозначим через Lx(0) линейное отображение, задаваемое форму-

Рассматривая элементы n-мерного пространства как векторы и, тем самым, их отображения как вектор-функции, дифференцируемые в точке x(0), отображение F можно записать в виде

Это означает, что для дифференцируемого в точке x(0) отображения F существует такое линейное отображение Lx(0) , что в окрестности точки x(0) отображение F отличается от этого линейного отображения на бесконечно малую более высокого порядка, чем расстояние |x − x(0)| = | x| от точки x(0) до точки x при стремлении этого расстояния к нулю. В этом и состоит смысл дифференцируемости отображения в точке.

Напомним еще (см. п. 40.4), что отображение (44.14) называется непрерывно дифференцируемым на открытом множестве G, если все его координатные функции (44.9) непрерывно дифференцируемы на этом множестве (см. замечание 3 в п. 36.2).

Л е м м а 3. Если отображение (44.14) непрерывно дифференциру-

Таким образом, новое, что привносит формула (44.18) по сравнению с формулой (44.17), состоит в том, что в формуле (44.17) точка x(0) была фиксирована, а в формуле (44.18) эта точка может меняться, оставаясь принадлежащей некоторому компакту X. При этом стремление к нулю функции ε(x(0), x) происходит равномерно на X. Определение равномерного стремления функции к нулю на множестве дано в п. 36.2.

Из непрерывной дифференцируемости координатных функций

Л е м м а 4. При непрерывно дифференцируемом отображении открытого множества компакт меры нуль, лежащий в этом множестве, отображается в компакт меры нуль.

Непрерывно дифференцируемое отображение является, очевидно, и непрерывным, а нам известно, что непрерывный образ компакта есть компакт (см. теорему 1 в п. 35.1). Оценим верхнюю меру образа компакта.

Предварительно заметим, что всякое ограниченное множество E Rnx содержится в некотором n-мерном кубе QE с ребром длины 2 diam E (см. замечание 2 в п. 33.2).

Пусть теперь G — открытое множество в Rnx , X — компакт, XG. Тогда его расстояние до непересекающегося с ним замкнутого множества Rnx \ G положительно (см. теорему 6 в п. 33.4):

Выберем ранг k так, чтобы диаметр куба ранга k был меньше δ. Тогда всякий куб ранга k, пересекающийся с компактом X, будет содержаться в множестве G. Многогранник Sk(X) (состоящий из всех таких кубов, см. (42.9)) также является компактом. В самом деле, компакт X есть ограниченное множество, поэтому множество Sk(X) представляет собой объединение конечного множества кубов ранга k.

172 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Пусть y = F (x) — непрерывно дифференцируемое отображение множества G в пространство Rn. Положим (см. (44.14) и (44.15))

Пусть x Sk(X), x Sk(X) и отрезок [x, x ] с концами в точках x и x содержится в Sk(X),

F (x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x)), F (x ) = (y1(x ), y2(x ), ..., yn(x )), x − x = x = (Δx1, x2, ..., xn).

Тогда, применив формулу конечных приращений Лагранжа для функций многих переменных (см. замечание 1 в п. 38.11), будем иметь

Из этого неравенства следует, что для любого выпуклого множества E Sk(X) (т. е. такого, что оно вместе с любыми своими точками содержит и отрезок с концами в этих точках, см. п. 33.3),

Ле м м а 5. Если F — непрерывно дифференцируемое отображение

сякобианом, не обращающимся в нуль, открытого множества G

Rnx в Rny , X — компакт, X G, Qh — n-мерный куб с ребром длины h, Qh G, x(0) X ∩ Qh, то имеет место неравенство

Подчеркнем, что в этом неравенстве бесконечно малая α = α(h) не зависит ни от выбора точки x(0) X, ни от выбора конкретных кубов Qh, а зависит только от длин их ребер h (и, конечно, от компакта X). В этом случае говорят, что на компакте X имеет место равномерная оценка (44.26).

Заметив, что μQh = hn, эту оценку можно записать в виде

Доказательство этой леммы основано на том, что для линейного отображения Lx(0) , как и для всякого линейного отображения, абсолютная величина определителя его матрицы (aij ) согласно лемме 2 равна коэффициенту изменения объемов тел при этом отображении. Для отображения Lx(0) указанный определитель совпадает с якобианом JF (x(0)) отображения F в точке x(0), и, таким образом, в силу леммы 2

F (Qh) Pα0h. (44.36)

(44.34) (44.35)

Пусть a1, a2, ..., an — длины ребер параллелепипеда P = Lx(0) (Qh). Оценим длины ai + ai ребер параллелепипеда Pα0h, параллельных соответственно ребрам длин ai параллелепипеда P , i = 1, 2, ..., n.

Пусть Hi — расстояние между двумя параллельными (n − 1)-мер- ными гранями параллелепипеда P , содержащими ребра длин a1, ...

..., ai−1, ai+1, ..., an. Тогда расстояние между двумя параллельными (n − 1)-мерными гранями параллелепипеда Pα0h, содержащими ребра

длин a1 + a1, ..., ai−1 + ai−1, ai+1 + ai+1, ..., an + an, в силу определения этого параллелепипеда равно Hi + 2α0h. Иначе говоря,

Hi и Hi + 2α0h являются длинами высот соответственно параллеле-

пипедов P и Pα0h.

Обозначим ϕi, 0 ϕi π/2, угол, образованный ребром длины ai параллелепипеда P с (n − 1)-мерной гиперплоскостью, содержащей его ребра длин a1, ..., ai−1, ai+1, ..., an (этот угол, очевидно, равен углу, образованному ребром длины ai + ai параллелепипеда Pα0h с соответствующей (n − 1)-мерной гиперплоскостью), т. е. угол между рассматриваемым ребром и его проекцией на указанную гиперплоскость.

Длины ребер и высот параллелепипеда P и Pα0h связаны с угла-

176 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Элементы матрицы ∂yi(x(0)) линейного отображения Lx(0) явля-

∂xj

ются непрерывными функциями на открытом множестве G, a углы ϕi непрерывно зависят от этих элементов и, следовательно, также явля-

i = 1, 2, ..., n. Поэтому наименьшие значения непрерывных на компакте X функций ϕi также положительны:

го Pint («рамка», окаймляющая параллелепипед P ) является

Ребра длины ai параллелепипеда P получаются при отображении Lx(0) из ребер куба Qh, имеющих длину h. Следовательно, в силу леммы 1 имеет место неравенство

Заметив, что объем любого n-мерного параллелепипеда не превосходит объема прямоугольного параллелепипеда с ребрами той же длины, т. е. произведения длин его ребер, имеющих общую вершину, будем иметь

Выше было замечено, что согласно лемме 2 имеет место равенство

Оценим теперь верхнюю меру множества F (Qh) :

|JF (x(0))|μQh + 2n(cn + 2c0α0(h))n−1α0(h)μQh.

(44.41) (44.42)

Положив

α(h) = 2n(cn + 2c0α0(h))n−1α0(h),

F (Qh) куба Qh при отображении F , а не его мера, поскольку осталось невыясненным, измеримо ли множество F (Qh) при сделанных предположениях. Для дальнейшего нам понадобится лишь случай взаимно однозначных непрерывно дифференцируемых отображений, якобиан которых не обращается в нуль. Поэтому мы и ограничимся доказательством измеримости образа измеримого множества лишь в этом случае.

Если отображение F непрерывно дифференцируемо и его якобиан не обращается в нуль на открытом множестве G Rnx , то образ F (G) этого множества также является открытым множеством, и у точек x G, y = F (x) F (G) существуют сколь угодно малые окрестности, взаимно однозначно отображающиеся друг на друга (см. п. 40.5). Если, кроме того, отображение F взаимно однозначно отображает все открытое множество G на его образ F (G), то для любого множества X G его внутренность Xint отображается на внутренность F (X)int

а если границы ∂X и ∂F (X) множеств X и F (X) содержатся соответственно в множествах G и F (G), то они также отображаются друг на друга:

В этом случае имеет место также и равенство

178 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Л е м м а 6. При непрерывно дифференцируемом взаимно однозначном отображении с якобианом, не обращающимся в нуль, открытого множества G образ измеримого множества, содержащегося вместе со своим замыканием в G, является измеримым множеством.

Пусть G — открытое в Rnx множество и F : G → Rny — указанное в условиях леммы его отображение.

Пусть X — измеримое множество и его замыкание X лежит в G:

при этом отображении также является компактом (см. теорему 1 в п. 35.1), а следовательно, ограниченным множеством. Но так как

F (X) F (X), то множество F (X) также ограничено.

(44.46)

Граница ∂X измеримого множества имеет меру нуль и является компактом (см. замечание 10 в п. 42.1). Поэтому и образ этой границы

Поскольку при отображении F граница образа множества является образом его границы (см. (44.44)), то граница ∂F (X) образа F (X) множества X имеет меру нуль:

μ∂F (X) = μF (∂X) = 0.

(44.44) (44.47)

Таким образом, F (X) является ограниченным множеством с границей меры нуль, и поэтому измеримо (см. теорему 1 в п. 42.1).

Поскольку n-мерный замкнутый куб является измеримым множеством, то в случае, когда этот куб лежит в открытом множестве G, его образ при непрерывно дифференцируемом взаимно однозначном отображении F с якобианом, не равным нулю, является измеримым множеством. Поэтому для таких отображений в неравенстве (44.26)

(см. лемму 5) в его левой части верхнюю меру можно заменить на меру, т. е. в этом случае справедливо неравенство

44.3. Формула замены переменного в кратном интеграле.

Пусть F — непрерывно дифференцируемое взаимно однозначное отображение открытого множества G Rnx в пространство Rny и его якобиан JF не обращается в нуль на множестве G.

Те о р е м а 1. Если X — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием в открытом множестве G:

XX G,

афункция f непрерывна на множестве F (X), то

Действительно, ограниченная функция одновременно интегрируема или нет как на измеримом множестве, так и на его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают (см. замечание 2 в п. 42.7). В нашем случае функции f (y) и f (F (x))|JF (x)| непрерывны соответственно на

компактах F (X) и X (являющихся замыканием измеримых множеств F (X) и X), а следовательно, ограничены и интегрируемы на них. Таким образом, все входящие в формулы (44.50) и (44.51) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны.

Докажем формулу (44.50). Прежде всего заметим, что ее достаточно доказать лишь при дополнительном предположении неотрицательности функции F на множестве F (X):

В самом деле, функция F , как это уже отмечалось выше, ограничена на компакте F (X). Поэтому существует такая постоянная c > 0, что

F (y) > −c, y F (X).