Краткий курс математического анализа. Том 2

160 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

этому пространству, получаемое фиксированием значений координат x1, x2, ..., xk. В частности, при f (x1, x2, ..., xn) ≡ 1 и k = 1 имеем

43.3. Объем n-мерного шара. Методом сведения кратного интеграла к повторному иногда удается вычислить значение кратного интеграла. Поясним это на примере получения формулы для величины объема n-мерного шара радиуса r. Пусть

Vrn = {x : x21 + x22 + ... + x2n r2}

—n-мерный шар радиуса r с центром в начале координат. Известно, что

отсюда можно найти объем трехмерного шара следующим образом:

Применим этот метод и для вычисления объема μnVrn шара Vrn при произвольном n = 1, 2, ... Пусть

μn−1V = κn−1rn−1,

162 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

(Qi — куб ранга k). Множество sk, будучи конечной суммой измеримых в обеих координатных системах множеств Qi, также измеримо в этих системах, причем множества Qi, i = 1, 2, ..., i0, образуют его разбиение, поэтому (см. лемму 6 в п. 42.3)

Если σk = σk(X) — множество кубов paнга k, входящих в множество Sk, но не входящих в множество sk, то σk отличается от множества Sk \ sk на множество меры нуль (см. замечание 7 в п. 42.1) в обеих координатных системах. Следовательно, μ(Sk \ sk) = μσk, μ(Sk \ sk) = μσk. Множество σk состоит из конечного множества кубов ранга k, поэтому аналогично (43.30) имеем

Поскольку sk X Sk и, в силу измеримости множества X в первой системе координат,

lim μ(Sk \ sk) = 0,

k→∞

то и во второй системе координат также

Поэтому, согласно лемме 5 п. 42.1, множество X измеримо во второй системе координат и

Докажем, что λ = 1. Для этого заметим, что объем n-мерного шара Vrn радиуса r равен κnrn (см. п. 43.3), где κn — определенное число. Величина длины радиуса шара, как и длина всякого отрезка, имеет одно и то же значение при любом выборе системы координат. Таким образом, объем n-мерного шара Vrn не зависит от выбора системы координат

Для многогранника sk(Vrn) (см. формулу (42.9)), состоящего из кубов ранга k (следовательно, с ребрами, параллельными координатным осям первой координатной системы), будем иметь

Это означает, что λ = 1.

Итак, действительно мера множества не зависит от выбора системы координат. Поскольку переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется с помощью ортогональных матриц, то мера является инвариантом при линейных отображениях, задаваемых формулами

n

yi = cij xj , i = 1, 2, ..., n,

j=1

с ортогональными матрицами C = (cij ), i, j = 1, 2, ..., n (см. п. 33.1). Напомним, что раньше (в п. 42.1) было показано, что мера множе-

ства не зависит и от параллельного переноса.

43.5. Формулы Ньютона–Лейбница и Тейлора. Приведем самый простой вывод формулы Тейлора: она может быть получена последовательным применением формулы Ньютона–Лейбница к получающимся подынтегральным функциям. Остаточный член формулы Тейлора получается в этом случае в виде повторного интеграла, который с помощью формулы перемены порядка интегрирования (см. формулу (43.22)) можно привести к уже известному нам его виду

винтегральной форме с однократным интегрированием (см. теорему 6

вп. 32.3).

Те о р е м а 2. Если функция f имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную порядка n и x0 [a, b], то для любого x [a, b] имеет место равенство

(формула Тейлора с остаточным членом в форме повторного интеграла).

Докажем формулу (43.34) по индукции. При n = 1 она является формулой Ньютона–Лейбница

x

f (x) = f (x0) + f (t1) dt1.

x0

6*

166 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

т. е. получилась запись остаточного члена в интегральной форме, полученной ранее в п. 32.3 (см. формулу (32.40)).

Итак, формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме является не чем иным, как итерацией формулы Ньютона– Лейбница.

§44. Замена переменных в кратных интегралах

44.1.Линейные отображения. Пусть Rnx и Rny — точечные n-мерные евклидовы пространства, точки которых обозначаются соответственно

x = (x1, x2, ..., xn) и y = (y1, y2, ..., yn).

Линейным отображением L : Rnx → Rny называется отображение, координатные функции которого являются линейными функциями:

Точка p = (p1, p2, ..., pn) является образом начала координат при отображении L.

Таким образом, линейное отображение L является композицией L = P A однородного линейного отображения A с координатными

цы (aij ), т. е. det A = det (aij ). Напомним, что определитель отоб-

Предварительно заметим, что из неравенства Коши–Шварца

ства Rn в себя называется n-мерным параллелепипедом. Ясно, что всякий n-мерный параллелепипед является измеримым множеством, так как его граница состоит из конечного множества (n − 1)-мерных граней, каждая из которых, будучи графиком непрерывной на лежащем в пространстве Rn−1 компакте функции, имеет n-мерную меру нуль.

Л е м м а 2. Если линейное отображение L является композицией однородного линейного отображения A и параллельного переноса P :

L = P A,

a J — определитель линейного отображения A: J = det A, то для любого измеримого множества X Rn выполняется равенство

Из линейной алгебры известно, что всякое линейное однородное отображение A может быть представлено в виде

A = BC,

где B — неотрицательное самосопряженное линейное отображение (неотрицательность линейного отображения B означает, что det B 0), а C — ортогональное отображение. Таким образом,

L = P A = P BC.

168 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

При параллельном переносе и ортогональном отображении мера множества не меняется (см. п. 42.1 и п. 43.4). Поэтому достаточно доказать, что для любого измеримого множества X выполняется ра-

венство

μB(X) = |J|μX.

Из линейной алгебры известно также, что для самосопряженного неотрицательного отображения существует система координат, в ко-

Пусть Q — n-мерный куб, ребра которого параллельны осям этой координатной системы и имеют длину h. Отображение B сводится к «растяжениям» в направлениях координатных осей: с коэффициентом λi в направлении i-й оси, i = 1, 2, ..., n. При таком растяжении объем всякого параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат, изменяется с коэффициентом λi, а в результате коэффициент изменения объема куба Q при отображении B будет равен λ1λ2...λn. Таким образом,

(напомним, что определитель линейного отображения не зависит от выбора системы координат).

Далее, из равенства A = BC имеем

det A = det B det C.

Определитель ортогонального отображения равен ±1, a det B 0, поэтому

Следовательно, окончательно

(44.9) (44.10)

Это равенство справедливо для всех кубов Q, ребра которых параллельны координатным осям, в которых матрица преобразования B имеет диагональный вид (44.8).

Пусть X — измеримое множество, X Rnx , а sk(X) и Sk(X) — множества, состоящие из кубов ранга k в указанной системе координат и определяемые по формулам (42.9). Из включений

sk(X) X Sk(X)

Множества sk(X), Sk(X) и Sk(X) \ sk(X) представляют собой объединение конечного множества кубов ранга k в выбранной системе координат (часть этих кубов в множестве Sk(X) \ sk(X) может быть открытыми или полуоткрытыми, см. замечание 4 в п. 42.1). Поэтому

множества B(sk(X)), B(Sk(X)) и разность B(Sk(X)) \ B(sk(X)) будут объединением конечного множества параллелепипедов (замкнутых,

открытых, полуоткрытых), и потому являются измеримыми множествами.

Мера множества Sk(X) \ sk(X) равна сумме мер составляющих его кубов, поэтому мера его образа B(Sk(X) \ sk(X)) равна сумме мер образов этих кубов, а для них справедливо равенство (44.11). Следовательно,

μ(B(Sk(X))\B(sk(X))) μB(Sk(X)\sk(X)) |J|μ(Sk(X)\sk(X)).

(44.13)

Поскольку в силу измеримости множества X имеет место равен-

ство lim μ(Sk(X)\sk(X)) = 0, то

k→∞

lim μ(B(Sk(X))\B(sk(X))) = 0.

k→∞

Отсюда и из включений (44.12) согласно лемме 5 п. 42.1 явствует, что множество B(X) измеримо, а поскольку

μB(sk(X)) = |J|μsk(X),

то и то, что