Краткий курс математического анализа. Том 2

150 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Из включений (42.109) и (42.110) и следует равенство (42.102).

Наконец,

Gm = sk(G)int = sk(G) G,

т. е. условие (42.107) также выполнено.

З а м е ч а н и е 5. Поясним, почему свойство 9 называется пол-

последовательность является последовательностью частичных сумм, то формулу (42.103) можно записать в виде равенства

Свойство интеграла по сумме счетной совокупности непересекающихся множеств быть равным сумме интегралов по этим множествам называется полной аддитивностью интеграла.

10◦ (теорема о среднем). Если функции f и g интегрируемы на множестве X Rn, m f (x) M , x X, и функция g(x) не меняет знак на X, то существует такое число μ, m μ M , что

С л е д с т в и е. Если множество G — область, функции f и g интегрируемы, функция f непрерывна и ограничена, а функция g не меняет знак на G, то в области G существует такая точка ξ, что

о среднем для интеграла по отрезку и не требует предположения об ограниченности рассматриваемых функций, так как основано лишь на интегрировании неравенств (см. п. 24.2). В основе доказательства следствия лежит та же идея, что и в одномерном случае, однако оно имеет некоторые особенности. Поэтому приведем его.

В силу ограниченности функции f ее нижняя m = inf f (x)

x G

и верхняя M = sup f (x) грани конечны на области G:

x G

152 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Если бы не существовало точки ξ G0, в которой f (ξ) = M , то для всех точек x G0 выполнялось бы неравенство

В силу достижимости непрерывной на компакте функцией своего

Это противоречит равенству (42.114). Следовательно, существует та-

кая точка ξ G0 G, что f (ξ) = M.

Случай μ = m рассматривается аналогично.

§ 43. Сведение кратного интеграла к повторному

43.1. Сведение двойного интеграла к повторному. Пусть функции ϕ и ψ непрерывны на отрезке

[a, b], ϕ(x) ψ(x), a x b, и (рис. 26)

E = {(x, y) : a x b, ϕ(x) y ψ(x)},

−∞ < a < b < +∞.

(43.1)

Ясно, что множество E — измеримый по Жордану компакт, так как оно ограничено, замкнуто и его граница имеет меру

нуль.

Если функция f задана на множестве E и при каждом x [a, b] интегрируема

по y на отрезке [ϕ(x), ψ(x)], то функция

ϕ(x)

называется интегралом, зависящим от параметра x, а интеграл

aϕ(x)

(если он, конечно, существует) называется повторным интегралом. Повторный интеграл (43.3) обычно записывают в виде

bψ(x)

dx f (x, y) dy.

aϕ(x)

Ле м м а. Если функция f непрерывна на компакте E (см. (43.1)), то зависящий от параметра интеграл (43.2) непрерывен на отрезке [a, b].

Сделаем в интеграле (43.2), зависящем от параметра x, замену переменной так, чтобы получился интеграл с постоянными пределами интегрирования. Этой цели служит преобразование

y = ϕ(x) + (ψ(x) − ϕ(x))t, 0 t 1,

отображающее отрезок [0, 1] на отрезок [ϕ(x), ψ(x)]. Поскольку dy = = (ψ(x) − ϕ(x)) dt, то

Из непрерывности функций f , ϕ и ψ в силу формулы (43.4) следует непрерывность функции g на прямоугольнике P , а так как всякий прямоугольник является компактом, то функция g и равномерно непрерывна на P. Поэтому для любого ε > 0 существует такое δ > 0,

|g(x + x t) − g(x t)| dt ε

(43.5)

0

156 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

отрезке [a, b], равномерно непрерывны на нем. Зададим произвольно ε > 0. Тогда существует такое δ > 0, что как только |x − x| < δ, выполняются неравенства

Выберем теперь k0 так, чтобы при k > k0 выполнялись неравенства

Ввиду произвольности выбора ε > 0 это и означает выполнение равенства (43.11).

В силу интегрируемости функции f (x, y) (она непрерывна на измеримом компакте E) из стремления к нулю мелкостей |τk| разбиений τk при k → ∞ нижние sτk и верхние Sτk суммы Дарбу функции f (x, y) имеют своим пределом интеграл от нее по множеству E (см. (42.98)):

E

Аналогично,

Таким образом,

bψ(x)

sτk dx f (x, y) dy Sτk .

aϕ(x)

Устремив здесь k к бесконечности, в силу (43.21) получим

что доказывает равенство (43.6).

З а м е ч а н и е. Если множество E удовлетворяет относительно оси y условиям, аналогичным условиям, которым оно удовлетворяет относительно оси x (см.(43.1)), т. е.

E = {(x, y) : c y d, α(y) x β(y)},