Краткий курс математического анализа. Том 2

Т е о р е м а 5 (теорема Гейне–Бореля 1)). Из всякого покрытия компакта открытыми множествами можно выделить конечное покрытие.

Пусть Ω = Gα, α A (A — некоторое множество индексов), — покрытие компакта X открытыми множествами Gα и δ — число Лебега этого покрытия (см. теорему 4). Множество X, будучи компактом, ограничено, а поэтому содержится в некотором кубе Qn:

кубов «гиперплоскостями» xi = x(i0), i = 1, 2, ..., n 2). Длины ребер получившихся кубов будут равны a/2.

Каждый из этих кубов снова разобьем аналогичным образом на 2n

1) Э. Борель (1871–1956) — французский математик.

2) Применяя индукцию по размерности m пространств Rm, m = 1, 2, ..., легко убедиться, что переход от m к m + 1 при указанном методе разбиения кубов приводит к удвоению их числа. Поэтому число кубов получившегося разбиения n-мерного куба равно 2n.

36Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Оповедении функции f (x, y) можно судить и по изображению ее линий уровня на плоскости переменных x, y, т. е. множества точек, координаты x, y которых удовлетворяют уравнениям вида

f (x, y) = c,

где c — некоторое фиксированное число (часто бывает удобно брать числа, отличающиеся последовательно друг от друга на одно и то же значение). На рис. 5 изображены линии уровня функции (34.1): они

являются окружностями

x2 + y2 = c2.

Рассматриваются и множества уровней f (x1, ..., xn) = c

функций f любого числа переменных.

В заключение заметим, что между множеством всех точек (x, y) плоскости и множеством всех комплексных чисел ξ существует взаимнооднозначное соответствие, задаваемое формулой

ξ = x + iy,

равносильной формулам (задающим обратное отображение)

Поэтому каждую функцию двух действительных переменных можно рассматривать как функцию одного комплексного переменного.

Понятие числовой функции многих переменных является частным случаем понятия отображения множества из пространства Rn в пространство Rm. Чтобы в дальнейшем не повторять аналогичные рассуждения для числовых функций и отображений, перейдем сразу к изучению последних.

34.2. Предел отображений. Пусть x = (x1, x2, ..., xn) и y =

= (y1, y2, ..., yn). Тогда

ρ(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ... + (xn − yn)2 = |x − y|.

Здесь слева элементы x и y рассматриваются как точки, а справа — как векторы пространства Rn (см. п. 33.1). В силу этого равенства для обозначения расстояния между точками x и y правомерно наряду с обозначением ρ(x, y) использовать и обозначение |x − y|. Так и будет делаться в дальнейшем для облегчения понимания аналогий в определениях ниже рассматриваемых понятий для отображений с соответствующими определениями для случая функций одной переменной.

Пусть Rn и Rm — соответственно n-мерное и m-мерное точечные

пространства X Rn, и отображение f отображает X в простран-

ство Rm:

f : X → Rm,

т. е. y = f (x) Rm, x X Rn.

Если m = 1, а n > 1, то отображение f — числовая функция многих переменных x1, x2, ..., xn: y = f (x1, x2, ..., xn).

Если m > 1, то каждая координата yi точки y = f (x) Rm яв-

ляется числовой функцией точки x. Обозначим эти функции fj , j = = 1, 2, ..., m:

f (x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x)).

Функции fj : X →R называются координатными функциями отображения f. Они являются, вообще говоря (а точнее при n > 1), функциями многих переменных.

Определим понятие предела отображений, которое является обобщением понятия предела функций одной переменной.

Пусть x(0) и a — конечные или бесконечно удаленные точки соответственно пространств Rn и Rm. Для n = 1 или m = 1 в случае бесконечно удаленных точек x(0) и a они могут быть и бесконечностями со знаком: +∞ или −∞. Пусть еще точка x(0) является точкой прикосновения множества X.

О п р е д е л е н и е 1. Точка a называется пределом отображения f : X → Rm, X Rn, при x → x(0) (или: в точке x = x(0)), если для

любой последовательности x(k) X, k = 1, 2, ..., такой, что lim x(k) =

k→∞

= x(0), имеет место равенство

lim f (x(k)) = a.

x→x(0)

Для предела отображения f в точке x(0) используется обозначение

lim f (x).

x→x(0)

В символической записи определение предела отображения выглядит так:

lim f (x(k)) = a. (34.2)

k→∞

По аналогии с пределом функции одной переменной определение предела отображения можно сформулировать в терминах окрестностей.

О п р е д е л е н и е 1 . Точка a называется пределом отображения f : X → Rm, X Rn, при x → x(0) (или: в точке x = x(0)), если для

38 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

любой окрестности U (a) точки a существует такая окрестность U (x(0)) точки x(0), что

x→x(0)

(34.4)

Определения 1 и 1 предела отображения равносильны. Действительно, из сравнения записей определений предела функций одной переменной (6.4) в п. 6.1 и (6.10) в п. 6.3 с определениями (34.2) и (34.3) предела отображений видно, что они полностью совпадают по форме записи (только точка, в которой берется предел, обозначается теперь x(0), а не x0, так как нижний индекс обозначает в пространственном случае номер координаты точки). Поэтому доказательство равносильности двух определений предела функций одной переменной (см. теорему 1 в п. 6.3) дословно переносится на случай пределов отображений, если только под точками и окрестностями понимать точки и окрестности в пространстве.

Наряду с записью lim f (x) для предела отображения f в точке

x→x(0)

x(0) употребляются как равноправные записи

Если x(0) и a — конечные точки пространств Rn и Rm, то, рассматривая элементы этих пространств как векторы, определение (34.4) можно записать в виде

def 0 0 , (0)

lim f (x) = a ε > δ > x X |x − x | < δ

x→x(0)

|f (x) − a| < ε. (34.5)

На этом примере еще раз хорошо видно, как разумно выбраны обозначения в многомерных пространствах: формула (34.5) по записи ничем не отличается от случая числовых функций одной переменной. Но, конечно, в случае числовых функций одной переменной |x − x(0)| и |f (x) − a| означают абсолютные величины чисел, а в формуле (34.5) — расстояния между точками в n-мерном и m-мерном пространствах.

Поскольку функции многих переменных являются частным случаем рассматриваемых отображений, то определение предела отображения содержит в себе, в частности, определение предела числовых функций.

С другой стороны, из определения (34.3) видно, что понятие предела отображения и функции |f (x)| при a = ∞:

Укажем еще на одну связь понятий пределов числовых функций и пределов отображений из Rn в Rm.

Если a = (a1, a2, ..., am), т. е. является конечной точкой пространства Rm, a f (x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)), f : X → Rm, X Rn, то из неравенства

|fj (x) − aj | (f1(x) − a1)2 + (f2(x) − a2)2 + ... + (fm(x) − am)2 =

= |f (x) − a|, j = 1, 2, ..., m,

следует, очевидно, что равенство lim f (x) = a имеет место тогда

x→x(0)

и только тогда, когда для всех j = 1, 2, ..., m имеют место равенства

В этом смысле понятие предела рассматриваемых отображений снова сводится к понятию предела числовых функций — предела его координатных функций.

Если отображение f задано на множестве X Rn, E X и x(0) — точка прикосновения (конечная или бесконечно удаленная) множества E, то предел в точке x(0) сужения fE отображения f на множе-

то в этой точке существуют и пределы отображения f по любым множествам E X, для которых точка x(0) является точкой прикосновения, и все эти пределы равны между собой.

В случае n > 1 в качестве множества E часто берутся кривые, прямые или лучи, проходящие через точку x(0) или их пересечения с отображаемым множеством X. Естественно, что при рассмотрении пределов отображения по разным подмножествам множества X