Краткий курс математического анализа. Том 2

70 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

наибольшему значению (для направления градиента, и только для него, cos ϕ = 1). Если же f = 0, то в данной точке производные функции f по всем направлениям равны 0.

Понятие производной функции по направлению существует для

Градиент grad f (x) = f (x) функции f в общем случае определяется по формуле

и для производной дифференцируемой функции f по направлению вектора l справедлива формула

и в случае n = 3, следует, что градиент функции любого числа переменных не зависит от выбора системы коор-

динат.

З а м е ч а н и е. Существуют такие функции, имеющие в некоторой точке производные по любым прямым, проходящим через эту точку (и даже равные между собой), что эти

функции не непрерывны в этой точке и, следовательно, заведомо недифференцируемы.

Примером такой функции является функция

Действительно, так как пересечение любой прямой, проходящей через точку (0, 0), с достаточно малой окрестностью (зависящей

от выбранной прямой) этой точки содержится в множестве точек (x, y), для которых f (x, y) = 0 (рис. 10), то в точке (0, 0) существует

производная ∂f∂l по любому направлению, и она равна нулю, т. е. для любого вектора l = 0 имеет место

∂f (0, 0) = 0.

∂l

Однако функция f (x, y) не является непрерывной в точке (0, 0). Чтобы в этом убедиться, найдем предел функции f при (x, y) → (0, 0) по параболе y = x2 с выколотой точкой (0, 0):

lim f (x, x2) = 1 = 0 = f (0, 0).

(x,x2)→(0,0) x=0

Это и означает, что рассматриваемая функция не является непрерывной в начале координат.

§ 37. Частные производные и дифференциалы высших порядков

37.1. Частные производные высших порядков. Частные производные функции, в свою очередь, являются функциями, и потому можно рассматривать их частные производные. Например, у функции z = f (x, y) могут существовать частные производные

и т. д., причем смысл введенных обозначений ясен из самой записи. Производные fxx, fxy, fyx, fyy называются частными производными

второго порядка. Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Оказывается, что при достаточно общих условиях результат дифференцирования по различным переменным не зависит от выбора порядка переменных, по которым происходит дифференцирование.

Аналогичным образом определяются частные производные выс-

любого числа n переменных.

72Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Те о р е м а. Если функция f определена вместе со своими частны-

ми производными fx, fy, fxy и fyx в некоторой окрестности точки (x0, y0) и производные fxy и fyx непрерывны в этой точке, то их значения в ней равны:

Рассмотрим повторное приращение xyf (x0, y0) функции f в точке (x0, y0), т. е. приращение функции f сначала по переменной x, а затем по переменной y в указанной точке. Имеем

xyf (x0, y0) = y(Δxf (x0, y0)) = y(f (x0 + x, y0) − f (x0, y0)) =

= f (x0 + x, y0 + y) − f (x0, y0 + y) − (f (x0 + x, y0) − f (x0, y0)).

(37.2)

Аналогично для повторного приращения yxf (x0, y0) функции f сначала по переменной y, а затем по переменной x, получим

yxf (x0, y0) = x(Δyf (x0, y0)) = x(f (x0, y0 + y) − f (x0, y0)) =

= f (x0 + x, y0 + y) − f (x0 + x, y0) − (f (x0, y0 + y) − f (x0, y0)).

(37.3)

Правые части в равенствах (37.2) и (37.3) равны, поэтому равны

Применив снова формулу Лагранжа, но теперь уже к прираще-

Из формул (37.4), (37.7) и (37.8) имеем

fxy (x0 + θ1 x, y0 + θ2 y)Δx y = fyx(x0 + θ3 x, y0 + θ4 y)Δx y.

(37.9)

Сократив при x y = 0 обе части этого равенства на произведе-

непрерывности в точке ( 0, y0) частных производных fxy и fyx будем иметь fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Из доказанной теоремы в случае непрерывности соответствующих частных производных следует независимость результата дифференцирования от порядка переменных, по которым производится дифференцирование, для функций любого числа переменных и для частных производных любого порядка, так как этот более общий случай можно свести к последовательному рассмотрению вторых частных производных функций двух переменных и тем самым к формуле (37.1). Например, для функции f (x, y, z) трех переменных имеем

В самом деле,

fxyz = (fx)yz = (fx)zy = (fxz)y = (fzx)y = (fz)xy = (fz)yx = fzyx.

37.2. Дифференциалы высших порядков. Для дифференцируемой функции y = f (x1, ..., xn) ее дифференциал имеет вид

и является функцией от 2n переменных x1, ..., xn, dx1, ..., dxn. Вычислим дифференциал от dy, рассматривая его только как функцию x1, ..., xn (т.е. зафиксировав значения dx1, ..., dxn). Обозначив дифференциалы при новом дифференцировании символом δ и опустив для простоты записи обозначение аргументов x1, ..., xn, будем иметь

Таким образом, дифференциал от дифференциала является билинейной формой относительно переменных dx1, ..., dxn и δx1, ..., δxn. Соответствующая ей квадратичная форма (получающаяся из нее при

в некоторой круговой окрестности точки (x0, y0). Тогда в этой окрестности

rm(x, y) формулы Тейлора. Таким образом, формула Тейлора имеет вид

f (x, y) = Pm(x, y) + rm(x, y).

Формула (38.1) называется формулой Тейлора с остаточным членом rm−1(x, y) в виде Лагранжа, а формула (38.2) — формулой Тейлора с остаточным членом rm(x, y) в виде Пеано.

Зафиксируем приращения x и y так, чтобы точка (x0 + x, y0 + y) лежала в круговой окрестности точки (x0, y0), указанной в условиях теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию

= y0 + t y и потому m раз непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, 1]. Согласно формуле Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа (см. п. 32.3)

0 < θ < 1, 0 t 1.

76 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Подставив эти выражения в формулу (38.4), получим формулу Тейлора (38.1).

Докажем следствие. Положим

(38.7)

j = 0, 1, ..., m.