Краткий курс математического анализа. Том 2
.pdf
90 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Зафиксируем произвольно x из интервала (x0 − δ, x0 + δ). Функция F (x, y) непрерывна по y на отрезке [y0 − ε, y0 + ε], поэтому из выполнения условий (40.3) следует, что существует такое y (y0 −
− ε, y0 + ε), что
(40.4)
а так как, кроме того, функция F (x, y) строго монотонна по y на отрезке [y0 − ε, y0 + ε], то такoe значение y единственно.
Таким образом, определена однозначная функция: каждому значению x (x0 − δ, x0 + δ) поставлено в соответствие единственное число
y (y0 − ε, y0 + ε). |
(40.5) |
Обозначим эту функцию через f , т. е. y = f (x). Согласно ее определению при любом x (x0 − δ, x0 + δ) имеет
место равенство F (x, y ) = 0, т. е. |
|
||
F (x, f (x)) = 0, |
(40.6) |
||
причем, так |
как |
при каждом |
x |
(x0 − δ, x0 |
+ δ) |
значение y , |
обла- |
дающее свойством (40.4), единственно, то существует только одна функ-
ция |
f , определенная на интервале |
(x0 |
− δ, x0 + δ) и удовлетворяющая |
условию (40.6). При этом из того, что F (x0, y0) = 0, и из единственности функции f следует, что y0 = f (x0) (рис. 13). Наконец, из произвольного задания достаточно малого ε > 0 следует, что функция f непрерывна в точке x0: для любого ε > 0 было найдено такое δ > 0, что из включения x (x0 − δ, x0 + δ) вытекает, что
f (x) (f (x0) − ε, f (x0) + ε).
(40.5)
Те о р е м а 1. Если функция F (x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0, y0), имеет в этой окрестности частную производную Fy(x, y), непрерывную в точке (x0, y0), и
F (x0, y0) = 0, Fy(x0, y0) = 0,
то найдутся такие окрестности U (x0) и U (y0) соответственно точек x0 и y0, что для любого x U (x0) существует единственное решение y U (y0) уравнения F (x, y) = 0. Это решение, обозначаемое y = f (x) как функция переменной x, непрерывно на окрестности
U (x0) и y0 = f (x0).
Если, кроме того, в некоторой окрестности точки (x0, y0) существует частная производная Fx(x, y), непрерывная в самой точке
§ 40. Неявные функции. Отображения |
91 |
(x0, y0), то функция f имеет в точке x0 производную и
f (x0) = − |
Fx(x0 |
, y0) |
(40.7) |
|
|
. |
|||
Fy (x0, y0) |
||||
С л е д с т в и е. Если в дополнение к условиям теоремы частные производные функции F непрерывны в окрестности точки (x0, y0), то неявная функция f в некоторой окрестности точки x0 имеет непрерывную производную.
Интересно отметить, что для неявной функции f можно доказать ее существование, но нельзя, вообще говоря, ее явно выразить через функцию F , а для производной функции f такое явное выражение имеется — формула (40.7).
Пусть для определенности Fy(x0, y0) > 0. Тогда из условий теоремы следует, что существует такая прямоугольная окрестность
U (x0, y0) = {(x, y) : |x − x0| < ξ, |y − y0| < η}
точки (x0, y0), что функция F (x, y) в ней непрерывна, а производная Fy(x, y) положительна: Fy(x, y) > 0. В этой окрестности выполняются все условия леммы, в частности, из неравенства Fy(x, y) > 0 следует строгое возрастание по переменной y функции F (x, y) при фиксированном значении x. Поэтому для произ-
вольно заданной ε-окрестности
U (y0) = (y0 − ε, y0 + ε), 0 < ε < η,
точки y0 в силу леммы найдется δ-окрестность точки x0:
U (x0) = (x0 − δ, x0 + δ),
для которой функция y = ности U (x0),
существует единственная f (x), заданная на окрестнепрерывная в точке x0
итакая, что при всех x U (x0) выполняется включение f (x) U (y0)
иравенство F (x, f (x)) = 0.
Покажем, что эта функция непрерывна во всех точках окрестности U (x0). Если x U (x0), y U (y0) и F (x , y ) = 0, т. е. y = f (x ),
то, очевидно, существует прямоугольная окрестность
U (x , y ) = {(x, y) : |x − x | < ξ , |y − y | < η },
содержащаяся в U (x0, y0) (рис. 14):
U (x , y ) U (x0, y0).
Ясно, что из этого включения следует, что в окрестности U (x , y ) также выполняются все условия леммы, а поэтому функция y = f (x) непрерывна в точке x , и так как x — произвольная точка окрестности U (x(0)), то функция y = f (x) непрерывна на этой окрестности.
92 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Пусть, наконец, у функции F в окрестности точки (x0, y0) существует частная производная Fx, непрерывная в самой точке (x0, y0). Тогда функция F дифференцируема в этой точке, т. е.
F (x0 + x, y0 + y) − F (x0, y0) =
= Fx(x0, y0)Δx + Fy(x0, y0)Δy + ε1 x + ε y, (40.8)
где (см. лемму в п. 36.2) |
|
|
|
|
||
lim |
ε |
= lim ε |
|
= 0, ρ = |
x2 + y2 . |
(40.9) |
ρ→0 |
1 |
ρ→0 |
2 |
|
|
|
Если x0 + x U (x0), а |
y = f (x0 + |
x) − f (x0) и, следовательно, |
||||
y0 + y = f (x0 + |
x) U (y0), то согласно определению функции f |
|||||
будем иметь
F (x0 + x, y0 + y) = 0.
Кроме того, по условию теоремы F (x0, y0) = 0, поэтому условие (40.8) в данном случае имеет вид
Fx(x0, y0)Δx + Fy(x0, y0)Δy + ε1 x + ε2 y = 0.
Отсюда при x = 0 следует, что
|
|
y |
= − |
Fx(x0, y0) + ε1 |
|
|
|
|
(40.10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
x |
Fy (x0, y0) + ε2 |
|
|
||||||||||||
Так как в силу непрерывности функции f |
lim |
|
y = 0, |
то |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||
|
lim ρ = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(40.11) |
||||
|
|
x |
2 |
+ |
y |
2 |
|
= |
0 |
||||||||
и, следовательно, |
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
ε1 = |
lim |
ε2 |
= |
0. |
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
(40.9) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(40.11) |
|
|
|
|
|
||
Таким образом, правая часть неравенства (40.10) имеет предел при
|
|
Fx(x0 |
, y0) |
|
|
|
|
||
x → 0, |
равный − |
|
|
; тот же предел имеет и левая часть, а это |
|||||
Fy (x0 |
, y0) |
||||||||
означает, что существует производная f (x0) и что |
|
||||||||
|
f (x |
) = |
lim |
y |
= |
Fx(x0, y0) . |
|
||
|
|
||||||||
|
0 |
|
x 0 |
x (40.10) |
−Fy (x0, y0) |
||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
Для доказательства следствия заметим, что если частные производные Fx и Fy дополнительно к условиям теоремы 1 непрерывны в некоторой окрестности точки (x0, y0), то согласно доказанному производная f существует в некоторой окрестности точки x0 и в силу формулы (40.7) для всех точек x этой окрестности имеет место равен-
ство |
f (x) = − |
Fx(x, f (x)) |
(40.12) |
|
|
|
. |
||
|
Fy (x, f (x)) |
|||
§ 40. Неявные функции. Отображения |
93 |
Отсюда в силу непрерывности композиции непрерывных функций следует, что в этом случае производная f (x) также непрерывна
внекоторой окрестности точки x0.
За м е ч а н и е. Формула (40.12) дает возможность, в частности,
написать уравнение касательной к плоской кривой, заданной неявно уравнением F (x, y) = 0.
Если (x0, y0) — точка рассматриваемой кривой и в этой точке для функции F выполняются условия теоремы 1, то в окрестности точки
(x0, y0) кривая имеет явное представление y = f (x), для которого y0 = f (x0) и (см. (40.7)):
f (x0) = −Fx(x0, y0) .
Fy (x0, y0)
Поскольку уравнение касательной к графику функции f в точке (x0, y0) имеет вид (п. 10.3)
y = f (x0)(x − x0) + y0, |
(40.13) |
то, подставив в это уравнение выражение (40.7) для производной f (x0), преобразуем его к виду
Fx(x0, y0)(x − x0) +
+ Fy(x0, y0)(y − y0) = 0. (40.14)
Это и есть канонический вид уравнения касательной к кривой, заданной неявным образом.
Случай одного уравнения более чем с двумя неизвестными, т. е. уравнения вида
F (x1, x2, ..., xn, y) = 0, |
n > 1, |
|
|
(40.15) |
|
рассматривается аналогично. Следует |
|
|
лишь в формулировках и доказатель- |
x = (x1, ..., xn) |
|
ствах леммы и теоремы |
1 под x понимать точку |
|
n-мерного пространства |
Rn, а под окрестностью |
U (x(0)) точки |
= (x(10), ..., x(n0)) — ее окрестность в Rn (рис. 15, на котором изображен случай n = 2). В частности, если функция F непрерывна в окрестности точки (x(0), y0), имеет в этой окрестности производную по y, непрерывную в точке (x(0), y0), и
F (x(10), ..., x(n0), y0) = 0,
Fy(x(10), ..., x(n0), y0) = 0,
94 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
то существуют такие окрестности U (x(0)) и U (y0) точек x(0) и y0, что уравнение (40.15) однозначно разрешимо относительно переменной y = f (x) в окрестности
def |
{(x, y) = (x1, ..., xn, y) : x U (x(0)), y U (y0)} |
U (x(0), y0) = |
точки (x(0), y0) = (x(10), ..., x(n0), y0) и решение непрерывно во всех точках x U (x(0)).
Если, кроме того, существуют частные производные Fxi , непрерывные в точке (x(0), y0), i = 1, 2, ..., n, то у функции f в точке x(0)
существуют частные производные fxi и
fxi (x |
(0) |
) = − |
Fxi (x(0), y0) |
(40.16) |
|
|
|
. |
|||
|
Fy (x(0), y0) |
||||
Для обобщения теории неявных функций на случай систем уравнений удобно сформулировать теорему о неявной функции, задаваемой одним уравнением F (x, y) = 0 для случая, когда у функции F непре-
рывны все ее частные производные на некоторой окрестности точки
(x(0), y0).
Т е о р е м а 1 . Если функция F непрерывно дифференцируема на
некоторой окрестности точки (x |
(0), |
y0) |
, |
(x(0), y ) = 0, F |
y |
(x(0), y ) = |
||||||||||||||||
|
|
F(0) |
0 |
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
= 0, |
то |
найдутся такие окрестности U (x |
) и U (y ) соответствен- |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(0) |
) |
существует |
|||||
но точек |
|
|
и y0, что для любой точки x U (x |
|
||||||||||||||||||
единственное решение |
y = f (x) уравнения |
F (x, y) = 0 |
такое, что |
|||||||||||||||||||
f (x) |
|
U (y |
) |
; |
при |
этом функция f непрерывно дифференцируема на |
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
(0) |
) и f (x |
(0) |
) = y0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
окрестности U (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Непрерывность частных производных неявно заданной функции f в силу теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций следует из того, что они, согласно (40.16), задаются формулами
|
|
|
|
∂F (x, f (x)) |
|
|
|
|
∂f (x) |
= − |
|
∂xi |
|
, |
i = 1, 2, ..., n. |
|
∂xi |
|
∂F (x, f (x)) |
|
|||
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
40.2. Декартово произведение множеств. Если даны два |
|||||||
каких-то множества, X и Y , то множество всевозможных пар (x, y), x X, y Y , называется декартовым произведением множеств X
и Y и обозначается X × Y.
П р и |
м е р 1. Если X = Rm, Y = Rn, т. е. X и Y — соответствен- |
но m- и |
n-мерные арифметические пространства и, следовательно, |
состоят из всевозможных точек |
x = (x1, ..., xm) |
и y = (y1, ..., yn), |
то элементами X × Y являются |
всевозможные |
пары (x, y), или, |
что равносильно, всевозможные системы (x1, ..., xm, y1, ..., yn). Отсюда
§ 40. Неявные функции. Отображения |
95 |
следует, что декартово произведение Rm ×Rn является (m + n)-мер- ным арифметическим пространством:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rm ×Rn = Rm+n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
П р и м е р 2. |
Если |
x(0) |
|
Rm, y(0) |
( ) |
|
|
( |
|
) |
|
— соответственно |
|||||||||
|
|
Rn, |
U |
и V |
||||||||||||||||||
прямоугольные окрестности точек x |
0 |
и |
y |
0 |
|
в пространствах R |
m |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и R |
n, |
то |
U |
× |
V является прямоугольной окрестностью точки (x(0), y(0)) |
|||||||||||||||||
|
|
|
m |
×R |
n = |
|
m+n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в пространстве R |
|
|
(0)R |
(0) |
(0) |
|
|
|
(0) |
|
(0) |
(0) |
) и |
|
||||||||
|
В самом деле, если |
x |
|
= (x1 , ..., xm ), |
y |
|
|
= (y1 , ..., yn |
|
|||||||||||||
|
|
|
U = {x = (x1, ..., xm) : |xi − xi(0)| < δi, |
|
i = 1, 2, ..., m}, |
|
|
|||||||||||||||
то |
|
|
V = {y = (y1, ..., yn) : |yj − yj(0)| < εj , |
|
j = 1, 2, ..., n}, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U × V = {(x, y) = (x1, ..., xm, y1, ..., yn) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|xi − xi(0)| < δi, i = 1, 2, ..., m; |yj − yj(0)| < εj , |
j = l, 2, ..., n}, |
|||||||||||||||||
что и является прямоугольной окрестностью точки (x(0), y(0)) в Rm+n.
П р и м е р 3. Если X и Y — открытые множества соответственно в пространствах Rm и Rn, то их произведение X × Y является открытым множеством в пространстве Rm ×Rn = Rm+n.
Действительно, если (x, y) X × Y , то в силу открытости множеств X и Y существуют такие прямоугольные окрестности U и V соответственно точек x и y, что U X, V Y , а следовательно, U × V X × Y. Поскольку же, согласно примеру 2, множество U × V является (прямоугольной) окрестностью точки (x, y), то X × Y — открытое множество.
П р и м е р 4. Если X Rn, [a, b] — отрезок числовой оси R, то множество X × [a, b] состоит из всевозможных точек (x, y) (n + 1)-мерного
пространства Rn+1 = Rn ×R, таких, что x X, a y b. Множество X × [a, b] называется цилиндром, множество X — его
основанием, а число h = b − a — его высотой.
40.3. Неявные функции, задаваемые системой уравнений.
Если задана система функций
ϕi(t1, ..., tm), i = 1, 2, ..., n, |
(40.17) |
каждая из которых имеет в точке t(0) = (t(10), ..., t(m0)) частные произ-
водные ∂ϕi , j = 1, 2, ..., m, то матрица, составленная из этих частных
∂tj
производных так, что i является номером строки, а j — столбца,
96 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
т. е. матрица
|
|
|
|
|
∂ϕ1 |
|
∂ϕ1 |
... |
∂ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂t1 |
|
∂t |
∂tm |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂ϕi |
|
= |
. . . . . .2 . . . . . . . |
(40.18) |
|||||||
∂tj |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂ϕn |
|
∂ϕn |
... |
∂ϕn |
|
|
||||
|
∂t1 |
|
∂t2 |
∂tm |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
называется матрицей Якоби 1) системы (40.17) в точке t(0). Если n = m, то определитель матрицы Якоби (40.18) называется якобианом
системы функций (40.17) в точке t(0) и обозначается |
|
∂(ϕi, ..., ϕn ) |
(при |
|
|
∂(t1, ..., tn) |
|
||
t = t(0)). |
|
|
||
|
|
|
|
|
Рассмотрим систему уравнений |
|
|
|
|
F1(x1, ..., xm, y1, ..., yn) = 0, |
(40.19) |
|||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||
Fn(x1, ..., xm, y1, ..., yn) = 0, |
|
|
|
|
или, короче, полагая x = (x1, ..., xm), y = (y1, ..., yn), |
систему |
|
||
Fi(x, y) = 0, i = 1, 2, ..., n. |
|
|
|
|
Сформулируем условия, при которых эту систему можно разрешить относительно переменных y1, ..., yn, в результате чего получится система функций
y1 = f1(x1, ..., xm), |
(40.20) |
. . . . . . . . . . . . . |
|
yn = fn(x1, ..., xm), |
|
задающая отображение y =nf (x) некоторой окрестности точки x Rm |
|||||
в n-мерное пространство R . |
|
||||
Т е о р е м а 2. Если функции Fi(x1, ..., xm, y1, ..., yn), |
i = 1, 2, ..., n, |
||||
непрерывно дифференцируемы в окрестности точки |
(x(0), y(0)) = |
||||
= (x(0), ..., xm(0), y(0), ..., yn(0)), |
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Fi(x(0), y(0)) = 0, i = 1, 2, ..., n, |
(40.21) |
|||
и |
|
∂(F1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
, ..., Fn) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂(y1 |
, ..., yn) |
(x(0),y(0)) = 0, |
(40.22) |
|
|
|
|
|
|
то существуют такие окрестности U (x(0)) и U (y(0)) точек x(0) и y(0) соответственно в пространствах Rm и Rn, что система уравнений (40.19) однозначно разрешима в окрестности U (x(0)) × U (y(0)) точки (x(0), y(0)) относительно переменных y1, ..., yn, т. е. для любого
1) К. Г. Якоби (1804–1851) — немецкий математик.
§ 40. Неявные функции. Отображения |
97 |
x U (x(0)) существует и притом единственное y U (y(0)) такое, что
Fi(x, y) = 0, |
i = 1, 2, ..., n. |
|
|
|
Если |
= f1(x1, ..., xm), |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
y = f (x) = . . . . . . . . . . . . . |
|
|
(40.23) |
|
yn = fn(x1, ..., xm), |
|
, n, |
|
|
функции f , i = 1, 2, |
|
|
||
— указанное решение, то все |
i |
... |
|
непрерывно |
дифференцируемы на U (x(0)) и y(0) = f (x(0)). |
|
|
|
|
Доказательство проведем по индукции: пусть теорема доказана для случая системы из n − 1 уравнений, n 2 (для одного уравнения теорема доказана в п. 40.1).
Если дана система n уравнений (40.19), удовлетворяющая условиям теоремы, то в силу предположения (40.22) по крайней мере один из
элементов последней строчки якобиана ∂(F1, ..., Fn) в точке (x(0), y(0))
∂(y1, ..., yn)
не обращается в нуль. Пусть для определенности этим элементом
будет |
∂Fn |
, т. е. |
∂Fn(x(0), y(0)) |
= 0. |
∂yn |
∂yn |
При выполнении этого условия последнее уравнение системы (40.19) можно разрешить относительно yn в некоторой окрестности точки (x(0), y(0)), т. е. существует такая функция
yn = ϕ(x1, ..., xm, y1, ..., yn−1),
что в указанной окрестности точки (x(0), y(0)) система (40.19) равносильна системе
Fj (x, y) = 0, j = 1, 2, ..., n − 1, |
(40.24) |
yn = ϕ(x1, ..., xm, y1, ..., yn−1), |
|
причем |
|
Fn(x1, ..., xm, y1, ..., yn−1, ϕ(x1, ..., xm, y1, ..., yn−1)) ≡ 0, |
(40.25) |
и функция ϕ непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности
точки (x(10), ..., x(m0), y1(0), ..., yn(0−) 1).
Введем для краткости записи обозначения
y = (y1, ..., yn |
− |
1), |
y(0) |
= (y(0), ..., y(0) |
), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n−1 |
|
|
|
||
x, y) = F |
(x, y, ϕ(x, y)), |
j = 1, 2, |
... |
, n |
− |
1. |
|||||||
Φj ( |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь условие |
(40.25) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а система (40.24) — вид |
Fn(x, y, ϕ(x, y)) = 0, |
|
|
|
|
|
|||||||
Φj (x, y) = 0, |
|
|
j = 1, 2, ..., n − 1, yn = ϕ(x, y). |
||||||||||
(40.26)
(40.27)
(40.28)
4 Л. Д. Кудрявцев
98 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
|
Покажем, что |
|
|
∂(Φ1, ..., Φn−1) |
(x(0),y(0)) |
= 0. |
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂(y1, ..., yn−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Φj |
= |
|
|
∂Fj |
+ |
∂Fj ∂ϕ |
|
, |
|
j = 1, 2, |
... |
, n |
− |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂yk (40.26) ∂yk |
|
|
∂yn ∂yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(40.29) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂Fn |
+ |
∂Fn ∂ϕ |
= |
0, |
|
|
|
k = 1, 2, |
... |
, n |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂yk |
|
|
∂yn ∂yk (40.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Поэтому, умножив последний столбец якобиана |
|
|
∂(F1, ..., Fn) |
|
на |
|
∂ϕ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂(y1, ..., yn) |
|
∂yk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и прибавив его к k-му столбцу, k = 1, 2, ..., n − 1, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Φ1 |
|
|
... |
∂Φ1 |
|
|
|
|
|
∂F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂F1 |
... |
|
|
∂F1 |
|
|
|
∂F1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂y1 |
|
∂yn−1 |
|
|
|
∂yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂y1 |
|
∂yn |
|
|
|
|
|
∂yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Φn |
|
|
1 |
|
∂Φn |
|
|
1 |
|
∂Fn |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂Fn |
|
|
|
∂Fn |
|
|
|
∂Fn |
|
(40.29) |
|
|
∂y1 |
|
... |
∂yn−1 |
|
|
|
∂yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂y1 |
|
|
∂yn |
|
|
1 |
|
|
∂yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Fn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
... |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Fn |
∂(Φ1, ..., Φn |
|
|
1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
||||
∂yn ∂(y1, ..., yn−1)
Отсюда, в силу условия (40.22), следует, что
∂(Φ1, ..., Φn−1) 0
∂(y1, ..., yn−1) (x(0),y(0)) = .
Поэтому, согласно предположению индукции, система n − 1 уравнений
Φj (x, y) = 0, j = 1, 2, ..., n − 1, |
(40.30) |
в некоторой окрестности точки (x(0), y(0)) может быть разрешена единственным образом относительно переменных y1, ..., yn−1:
yj = fj (x) = fj (x1, ..., xm), |
j = 1, 2, ..., n − 1. |
(40.31) |
Поэтому, положив f (x) = (f1(x), ..., fn−1(x)), будем иметь |
|
|
Φj (x, f(x)) = 0, |
j = 1, 2, ..., n − 1. |
(40.32) |
В указанной окрестности соотношения (40.30) и (40.31) равносильны, а функции fj , j = 1, 2, ..., n − 1, непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки x(0).
Если
def |
, ..., xm, f1 |
(x1, ..., xm), ..., fn−1(x1, ..., xm)), |
fn(x) = ϕ(x, f(x)) = ϕ(x1 |
||
|
|
(40.33) |
|
§ 40. Неявные функции. Отображения |
|
|
|
99 |
|||||||
то система функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y1 = f1(x1, ..., xn), |
|
|
|
||
|
f (x) = (f(x), fn(x)) = . . . . . . . . . . . . |
|
(40.34) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
yn = fn(x1, ..., xn) |
|
|
|
|||
является непрерывно |
дифференцируемым решением системы (40.19) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в некоторой окрестности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
U (x(0), y(0)) = U (x(0)) × U (y(0)) |
|
|
|
|
||||||
точки (x(0), y(0)): при x U (x(0)) |
|
имеем f (x) U (y(0)) и |
|
|
|
|||||||
Fj (x, f (x)) |
= |
Fj (x, f (x), fn(x)) |
|
= Fj (x, f (x), ϕ(x, f(x))) |
|
= |
||||||
(40.34) |
|
|
|
(40.33) |
|
|
(40.26) |
|||||
|
|
|
|
= Φ |
(x, |
f (x)) |
= 0, |
j = 1, 2, |
... |
, n 1, |
||
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(40.26) |
|
|
|
40 32 |
|
|
|
|
Fn(x, f (x)) |
= |
Fn |
(x, f (x), fn(x)) |
= Fn((x,.f ()x), ϕ(x, f(x))) = −0. |
||||||||
|
(40.34) |
|
|
|
(40.33) |
|
|
|
(40.27) |
|||
В силу единственности решения (40.34) в рассматриваемой окрест-
ности точки (x(0), y(0)) соотношения (40.19) и (40.34) равносильны и y(0) = f (x(0)).
Используя обозначения (40.24), (40.26) и (40.33), схему доказательства теоремы 2 можно кратко изобразить следующим образом:
Fi(x, y) = 0, |
i = 1, 2, ..., n, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fj (x, y) = 0, |
j = 1, 2, ..., n − 1, |
||||||
|
|
yn |
= |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x, y), |
|
|
|
|
Φ |
(x, y) = 0, |
j = 1, 2, |
, n |
|
1, |
||
j |
|
yn = ϕ(x, y), ... |
|
− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
yj = fj (x), |
j = 1, 2, ..., n − 1, |
||||||
|
|
yn |
= |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x, y), |
|
|
|
|
yi = fi(x), i = 1, 2, ..., n.
Полученное решение y = f (x) = (f1(x), ..., fn(x)) системы (40.19) единственно, так как в вышеуказанной схеме при переходе от каждой системы уравнений к следующей получается равносильная в некоторой окрестности точки (x(0), y(0)) система.
4*