Краткий курс математического анализа. Том 2

40 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

в случае, когда предела по самому множеству X не существует, могут получаться разные результаты.

Если множество X содержит окрестность или проколотую окрестность точки x(0) и множество E является пересечением множества X с некоторой прямой (кривой) Γ, проходящей через точку x(0)

(E = X ∩ Γ), то предел отображения f в точке x(0) по множеству E

называется пределом отображения f в точке x(0) по прямой (кри-

вой) Γ. Пределы же отображения f в точке x(0) по всей окрестности или по всей проколотой окрестности называются всесторонними пределами.

Если Γ — луч с вершиной в точке x(0), а l — вектор, сонаправленный этому лучу, то предел отображения f в точке x(0) по пересечению

луча Γ с множеством, на котором задано отображение, называется также пределом этого отображения в точке x(0) по направлению, противоположному вектору l.

во всех точках плоскости, кроме начала координат (0, 0). Исследуем существование пределов у этой функции в точке (0, 0) по различным направлениям и по параболе y = x2. Уравнение луча с вершиной в начале координат, параллельного вектору (a, b), a2 + b2 > 0, имеет вид

x = at, y = bt, t > 0.

Поэтому вдоль этого луча имеем

т. е. у функции f (x, y) в точке (0, 0) существует предел по любому направлению, и он равен нулю.

Если же y = x2, то f (x, x2) ≡ 1/2, и, следовательно, предел в точке (0, 0) вдоль параболы y = x2 также существует, но равен 1/2.

Из сказанного, очевидно, следует, что у функции f не существует всестороннего предела в точке (0, 0).

34.3. Непрерывность отображений в точке. При рассмотрении предела отображения в данной точке эта точка может как принадлежать отображаемому множеству, так и не принадлежать ему.

О п р е д е л е н и е 2. Если предел отображения в точке равен его значению в этой точке, то отображение называется непрерывным в ней.

x→x(0)

является определением непрерывности отображения в точке.

В символической записи определение непрерывности отображения f в точке x(0) выглядит в силу (34.5) следующим образом:

ε > 0 δ > 0 x X, |x − x(0)| < δ : |f (x) − f (x(0))| < ε.

(34.11)

В терминах окрестностей определение указанной непрерывности

x→0

что, таким образом, является другой записью определения непрерыв-

ности отображения f в точке x(0).

Если f (x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)), то из (34.6) при a = f (x(0)) следует, что отображение непрерывно в некоторой точке в том и толь-

ко том случае, когда все его координатные функции fj непрерывны в этой точке.

Ясно, что если отображение непрерывно в какой-либо точке, то и его сужение по каждому множеству, содержащему эту точку,

точкой прикосновения множества X, то отображение β(x) называют

бесконечно малым по сравнению с отображением α(x) при x → x(0)

42 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

если существует такая числовая функция ε(x), также определенная на множестве X, что

x→x(0)

Если x(0) X, то из условия (34.16) следует (см. (34.9)), что

ε(x(0)) = 0.

З а м е ч а н и е. Аналогично случаю функций одной переменной понятие предела функции многих переменных обобщается и на случай функций, принимающих комплексные значения. Пусть x(0) — конечная или бесконечно удаленная точка прикосновения множества X Rn, a w0 — конечная или бесконечно удаленная точка комплексной плоскости C. Для функции f , заданной на множестве X, f : X → C, определение предела

можно сформулировать как в терминах последовательностей, так и в терминах окрестностей. Например, в терминах последовательностей это определение имеет следующий вид.

Существование предела (34.17) означает, что для любой последо-

x X, то предел (34.17) существует в том и только том случае, когда существуют пределы

x→x(0)

непрерывной в точке x(0).

Как и в случае функций, принимающих действительные значения, для непрерывности функции f в точке x(0) необходимо и достаточно существование предела lim f (x) и принадлежность точки x(0) мно-

деление предела и непрерывности отображений дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одной переменной, то для случая отображений сохраняются многие свойства

З а м е ч а н и е 2. Если отображение y = f (x) отображает некото-

что на ней определена композиция g ◦ f отображений g и f.

В самом деле, в силу непрерывности отображения f в точке для указанной окрестности V согласно (34.12) существует такая окрестность U0 U точки x(0), что f (U0) V. Очевидно, что компо-

зиция g ◦ f определена на окрестности U0 точки x(0).

Элементарной функцией многих переменных называется функция, которая может быть получена из этих переменных с помощью композиций основных элементарных функций и четырех арифметических действий. Так как все эти операции не выводят из класса непрерывных функций, то справедлива следующая

Т е о р е м а 2. Всякая элементарная функция многих переменных непрерывна на множестве своего определения.

34.6.Повторные пределы. Для отображений f : X →Rm, X

Rn, при n > 1 наряду с определением предела в смысле определения 1 можно рассматривать пределы другого вида, а именно связан-

ные с последовательным переходом к пределу по разным координатам точки x = (x1, x2, ..., xn), т. е. пределы вида

где (i1, i2, ..., in) — некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., n, а отображение f определено, например, в некоторой проколотой или обычной

окрестности точки x(0) = (x(10), x(20), ..., x(n0)). Такие пределы называются повторными пределами.

Аналогично пределу в смысле определения 2 повторные пределы отображения сводятся к повторным пределам координатных функций этого отображения. Поэтому ограничимся рассмотрением примеров только повторных пределов числовых функций.

46 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Исследуем различные пределы функции f в точке (0, 0). Очевидно, что у этой функции в точке (0, 0) существует предел по всему множеству ее задания, и, более того, она непрерывна в этой точке:

мулой на всей плоскости, кроме начала координат, оба повторных предела в точке (0, 0) существуют и равны нулю:

Что же касается всестороннего предела функции f в точке (0, 0), то он не существует, так как ее пределы в этой точке вдоль коорди-

натных осей равны 0, а вдоль прямой y = x ее предел равен 1/2, ибо f (x, x) ≡ 1/2, x = 0.

§ 35. Непрерывные отображения множеств

35.1. Непрерывные отображения компактов. Равномерная непрерывность отображений. Отображение, непрерывное в каждой точке отображаемого множества, называется непрерывным на этом множестве.

Докажем несколько теорем, являющихся обобщениями доказанных ранее теорем о непрерывных на отрезках функциях (см. и 7).

Те о р е м а 1. Непрерывный образ компакта является компактом.

С л е д с т в и е. Числовая непрерывная на компакте функция ограничена и достигает своих экстремальных (наибольшего и наименьшего) значений.

Пусть множество X является компактом, X Rn и отображение f : X → Rn непрерывно на X. Покажем, что из любой последователь-

ности точек образа f (X) компакта X можно выделить сходящуюся к точке из f (X) подпоследовательность. Это и будет означать, что множество f (X) — компакт.

Пусть y(k) f (X). Тогда существуют такие точки x(k) X, что f (x(k)) = y(k), k = 1, 2, ... Поскольку множество X — компакт, то существует сходящаяся подпоследовательность {x(kj )} последовательности {x(k)}, предел которой принадлежит множеству X: lim x(kj )

Если f : X → R, X — компакт, X Rn, то в силу доказанной теоремы множество f (X) является компактом на числовой оси, т. е. ограниченным и замкнутым числовым множеством. В силу своего определения нижняя и верхняя грани множества являются точками прикосновения этого множества. Из ограниченности множества f (X) следует, что его нижняя и верхняя грани конечны. Поскольку f (X) — замкнутое множество, то они содержатся в нем. Это означает, что функция f достигает на компакте X наибольшего и наименьшего значений.

З а м е ч а н и е. Если функция определена на некотором множестве X n-мерного пространства и ее значениями являются комплексные числа, то она называется ограниченной на этом множестве, если на нем ограничена ее абсолютная величина.

Таким образом, ограниченность комплекснозначной функции сводится к ограниченности функции, принимающей только действительные значения, — ее абсолютной величине. Из этого в силу теоремы 1 сразу следует, что всякая комплекснозначная функция, непрерывная

вкаждой точке некоторого компакта, ограничена на нем.

Ра в н о м е р н а я н е п р е р ы в н о с т ь. В п. 7.4 было введено по-

нятие равномерно непрерывной функции на отрезке. Это определение можно обобщить на случай отображений f : X → Rm, X Rn. Если отображение f непрерывно на множестве X, то для любого ε > 0 и для любой точки x X существует такое δ > 0 (тем самым зависящее от ε

и x), что для всех точек x X, для которых |x − x| < δ, выполняется неравенство |f (x ) − f (x)| < ε.

Как и в случае функций одной переменной, отказ от зависимости числа δ от точки множества приводит к понятию равномерной непрерывности.

а поэтому

|f (x ) − f (x )| |f (x ) − f (x(0))| + |f (x(0)) − f (x )| < 2ε + 2ε = ε.

Это и означает равномерную непрерывность отображения f . Следствие является частным случаем теоремы при m = 1. Для

функций, непрерывных на отрезке, оно было доказано в п. 7.4.

В теореме 2 требование того, что отображаемое множество является компактом, существенно. Например, непрерывная и ограничен-

ная на конечном интервале (0, 1) функция f (x) = sin x1 не является равномерно непрерывной, так как при любом n = 1, 2, ... имеем

35.2. Непрерывное отображение линейно связных множеств. Прежде всего докажем следующую простую теорему.

Те о р е м а 3. Непрерывный образ линейно связного множества является линейно связным множеством.

Пусть X — линейно связное множество, X Rn и f — его непре-

рывное отображение в пространство Rm. Пусть Y = f (X) и y Y , y Y . Тогда существуют такие точки x X и x X, что f (x ) = y ,

f (x ) = y . В силу линейной связности множества X существует такая кривая Γ = {x(t); a t b}, что x(a) = x , x(b) = x , и для

всех t [a, b] выполняется включение x(t) X. Очевидно, что кривая