Краткий курс математического анализа. Том 2

190 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Рассмотрим координатный параллелограмм P полярных координат (рис. 35). Длины двух его сторон равны r и r ϕ. Вычислим приближенно его площадь, считая его

обыкновенным прямоугольником:

но, легко убедиться и непосредственно, вычислив соответствующие част-

ные производные.

Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены r, ϕ, и на ней открытый прямоугольник

G = {(r, ϕ) : 0 < r < R, 0 < ϕ < 2π}.

При отображении

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, 0 < ϕ < 2π, 0 < r < R, (44.91)

открытый прямоугольник G отображается на множество G плоскости с декартовыми координатами x, y, которое представляет собой круг x2 + y2 < R2, из которого удален радиус: 0 x < R, y = 0. Отображение (44.91) и его якобиан r непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник G = {(r, ϕ) : 0 r R, 0 ϕ 2π}, образом которого при продолженном отображении является замкнутый круг x2 + y2 R2. Отметим, что продолженное отображение уже не является взаимно однозначным: взаимная однозначность нарушается на границе прямоугольника G (отрезки 0 r R при ϕ = 0 и ϕ = 2π отображаются в один и тот же отрезок 0 x R, y = 0, а отрезок r = 0, 0 ϕ 2π и вовсе отображается в одну точку (0, 0)). Якобиан продолженного отображения обращается в нуль при r = 0.

Согласно теореме 2 п. 44.3 для отображения (44.91) и непрерывной на круге x2 + y2 R2 функции f (x, y) имеет место формула

Из криволинейных координат в пространстве отметим сферические и цилиндрические. Сферические r, ϕ, ψ связаны с декартовыми x, y, z формулами

x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ, r 0, 0 ϕ 2π, −π/2 ψ π/2

196 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

2◦. При изменении ориентации кривой криволинейный интеграл второго рода меняет только знак:

BA AB

(Само собой разумеется, что в случае, когда рассматриваемый интеграл равен нулю, никакого изменения знака не происходит, так

(формально правая часть равенства (45.17) получается из левой, если положить dr = r dt).

В координатном виде формула (44.17) имеет вид

+ Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) + R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt.

Эта формула выражает криволинейный интеграл второго рода по кривой Γ при помощи ее представления посредством произвольного параметра. Отметим, что поскольку интеграл, стоящий в левых частях формул (45.17) и (45.19), согласно определению 2 не зависит от выбора параметра на ориентированной кривой, то и интеграл, стоя-

щий в правых частях этих формул, не зависит от выбора параметра.

, ,

Если кривая AB является графиком функции y = f (x) a x b A = (a, f (a)), B = (b, f (b)), то формула (45.19) приобретает в этом случае вид

b

P dx + Q dy = (P (x, f (x)) + Q(x, f (x))f (x)) dx.

Именно в таком виде она и будет применяться в дальнейшем. Равенство (45.20) было получено исходя из определения 2 криволинейного интеграла второго рода и, следовательно, в предположении гладкости

графика функции, что равносильно ее непрерывной дифференцируемости, так как в данном случае t = x, r = (x, f (x)), r = (1, f (x)) = 0.

Однако в саму формулу (45.20) не входит производная функции f (x). Это довольно неестественно, так как обычно подобные формулы справедливы тогда, когда написанные выражения имеют смысл. В данном случае правая часть равенства (45.20) заведомо имеет смысл в предположении лишь непрерывности функций f (x) и P (x, y). Эту неестественность можно устранить двояко: либо попытаться дать более общее определение криволинейного интеграла второго рода, чем определение 2, так, чтобы в случае непрерывных функций f (x) и P (x, y)

198 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

была справедлива формула (45.20) (такая попытка с положительным результатом будет сделана в п. 45.4), либо просто принять равенство

AB является графиком непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x).

Это определение корректно в том смысле, что для непрерывно дифференцируемых функций такое определение в силу доказанного выше совпадает для данного случая с первоначальным.

В этом случае естественно положить по определению

З а м е ч а н и е. Часто приходится рассматривать интегралы по

кривым, получающимся объединением некоторых кривых. Кривая Γ = {r(t); a t b} называется объединением кривых Γi, если суще-

ствует такое разбиение τ = {ti}ii==m0 отрезка [a, b], что Γi = {r(t); ti−1t ti}, i = 1, 2, ..., m, т. е. представления кривых Γi, являются суже-

ниями представления кривой Γ на отрезки разбиения τ. В этом случае

пишут

m

Γ = Γi.

i=1

Криволинейный интеграл (первого или второго рода) по кусочно-

45.3. Интеграл второго рода как предел интегральных сумм. Пусть Γ = {M (t), a t b} — гладкая кривая, M (t) =

= (x(t), y(t), z(t)), F = F (M (t)) — непрерывная на кривой Γ функция,

τ = {ti}ii==i0τ — разбиение отрезка [a, b], i x = x(ti) − x(ti−1), ξi

[ti−1, ti], i = 1, 2, ..., iτ , и

Отличие суммы στ от интегральной суммы Римана состоит в том, что здесь i x является не длиной отрезка разбиения τ , а приращением функции x(t) на отрезке [xi−1, xi].

функции F (M (t))x (t), a t b. В силу непрерывности на отрезке [a, b] функции F (M (t))x (t), она интегрируема на нем, и поэтому интегральные суммы στ стремятся к интегралу от этой функции при

|τ | → 0:

b

Покажем, что и суммы στ стремятся при |τ | → 0 к тому же пределу.

Функция F (M (t)), будучи непрерывной на отрезке [a, b], ограничена на нем. Это означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех точек x [a, b] выполняется неравенство

Зададим число ε > 0. Функция x (t) так же непрерывная, а потому

и равномерно непрерывная на отрезке [a, b]. Следовательно, существует такое число δ > 0, что для всех точек t [a, b] и t [a, b], для

которых |t − t| < δ, выполняется неравенство