Краткий курс математического анализа. Том 2

310 Гл. 6. Гармонический анализ

получим ρ(x , y ) ρ(x , z ) + ρ(z , y ).

Таким образом, функция ρ действительно является метрикой на множестве X .

4. И з о м е т р и ч н о с т ь в л о ж е н и я X в X . Поставим в соответствие каждой точке x X точку x X , содержащую стационарную последовательность {x, x, ..., x, ...} (очевидно, она является фундаментальной), и обозначим это соответствие символом f , т. е.

f (x) = x . Покажем, что для любых x X и y X выполняется условие

ρ (f (x), f (y)) = ρ(x, y).

Действительно, если x = f (x), y = f (y), то {x, x, ..., x, ...} x , {y, y, ..., y, ...} y . Поэтому в формуле (52.6) в качестве последова-

тельностей {xn} x и {yn} y можно взять последовательность xn = x, yn = y, n = 1, 2, ...; тогда

ρ (x , y ) = lim ρ(x, y) = ρ(x, y).

(52.6) n→∞

Из этого равенства следует, в частности, что если x = f (x), y = = f (y), то при x = y и x = y .

Итак, отображение f изометрично отображает пространство X на множество f (X). Заменим в пространстве X точку x = f (x) точкой x пространства X и получившееся пространство снова обозначим X (иначе говоря, отождествим точки x = f (x) X и x X); тогда получим, что множество X является подмножеством метрического пространства X .

5. П л о т н о с т ь X в X . Пусть x X и {xn} x . Рассматривая xn, n = 1, 2, ..., как точки пространства X (см. 4), покажем,

что

lim xn = x .

n→∞

В формуле (52.6) расстояния ρ (xn, x ) возьмем для точки xn X стационарную последовательность {xn, xn, ..., xn, ...}, для точки x — данную последовательность {xn}, в которой для удобства индекс n заменим на m; получим {xm} x , тогда

Поскольку последовательность {xn} фундаментальная, то для любого ε > 0 существует такой номер nε, что для всех n > nε и m > nε имеет место неравенство ρ(xn, xm) < ε. Перейдя в нем к пределу при m → ∞, в силу (52.8) при любом n > nε получим ρ (xn, x ) ε. Это и означает, что

т. е. что произвольно выбранная точка x X является пределом последовательности {xn} точек пространства X (и именно любой

последовательности {xn} x ). Следовательно, подпространство X плотно в X .

пространства X в X (см. 5) для любого натурального n существует такая точка xn X, что

Покажем, что последовательность {xn} фундаментальная. В са-

Пусть ε > 0 произвольно фиксировано. Тогда в силу фундамен-

Это и означает фундаментальность последовательности {xn}.

Пусть x — такая точка пространства X , что {xn} x . Покажем,

но пополнение. Иллюстрацией различных пополнений одного и того же пространства являются, например, пополнения интервала (a, b), −∞ < a < b < ∞, в виде отрезка [a, b] и в виде пространства X эквивалентных фундаментальных последовательностей интервала (a, b). Согласно доказанному отрезок [a, b] и пространство X изометричны.

З а м е ч а н и е 1. Два пополнения одного и того же метрического пространства изометричны.

фундаментальных последовательностей пространства X и, следова-

тельно, некоторой точкой x X . В результате получим отображе-

ние метрического пространства X в метрическое пространство X . Поскольку две последовательности {xn} и {xn} пространства X, имеющие в пространстве X разные пределы x и x , не являются эквивалентными фундаментальными последовательностями, т. е.

и, следовательно, x является классом эквивалентных фундаментальных последовательностей {xn} пространства X. Каждая такая последовательность {xn}, будучи фундаментальной, сходится в полном метрическом пространстве X, причем все эквивалентные фундаментальные последовательности сходятся к одному и тому же элементу

Ясно, что полученная точка x X при рассматриваемом отобра-

Изометричность этого отображения следует из того, что для любых двух точек x и y, принадлежащих пространству X или простран-

Таким образом, можно сказать, что пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрии пространств.

З а м е ч а н и е 2. Наличие полноты метрического пространства является важным обстоятельством при решении многих задач, в частности тех, которые решаются методом последовательных приближений. Если в результате n-го шага отыскания приближенного решения получается элемент xn, принадлежащий некоторому пространству X, то обычно при последующих шагах получаются в конце концов все более и более точные приближения искомого решения, т. е. элементы xn «сближаются друг с другом», точнее, образуют фундаментальную последовательность. Если пространство X полное, то последовательность {xn} сходится к некоторому элементу x, который и является, как правило, точным решением задачи.

Нетрудно привести пример элементарной задачи подобного типа, не имеющей решения в силу неудачного выбора пространства, в котором ищется решение. Рассмотрим в пространстве C[−1, 1] непрерывных на отрезке [−1, 1] функций подмножество, состоящее из всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [−1, 1] функций. Обозначим это подмножество CD[−1, 1]. Оно, будучи подмножеством метрического пространства C[−1, 1], в свою очередь, является метрическим пространством с метрикой

Рассмотрим задачу отыскания в пространстве CD[−1, 1] функции f , график которой проходит через точки M1 = (−1, 1), O = (0, 0),

M2 = (1, 1) и имеет наименьшую длину. Поскольку отрезок прямой является кратчайшим путем, соединяющим две точки, то в классе всех спрямляемых кривых, проходящих через точки M1, O, M2, график функции y = |x|, −1 x 1, является кратчайшей кривой наименьшей длины. Однако функция y = |x| не является непрерывно дифференцируемой и поэтому не принадлежит пространству CD[−1, 1]. Вместе с тем в пространстве CD[−1, 1], очевидно, существуют

314 Гл. 6. Гармонический анализ

функции, которые сколь угодно близки в смысле метрики C[−1, 1] к функции y = |x|, −1 x 1, и длины графиков которых также сколь угодно близки к длине гра- фика этой функции. Графики таких функций можно получить, делая достаточно малые закругления около вершины угла графика функции y = |x| (рис. 69). Уменьшая раз за разом эти закругления, получим последо-

вательность функций {fn}, сходящуюся в пространстве C[−1, 1] к функции y = |x|, −1 x 1. Из сходимости этой последовательности следует ее фунда-

ментальность в пространстве C[−1, 1], а поэтому и в его подпространстве CD[−1, 1]. Поскольку предел последовательности в метрическом пространстве единствен и в случае последовательности {fn} он не принадлежит CD[−1, 1], то эта последовательность не имеет предела в пространстве CD[−1, 1], а поставленная задача не имеет решения.

Отметим еще, что теорема 1 важна тем, что она показывает, что если в некотором метрическом пространстве X при решении какой-то задачи получилась фундаментальная последовательность приближенных решений, то всегда можно указать такое метрическое пространство X X (быть может, X = X), в котором эта последовательность сходится к некоторому элементу x X , а это, как уже отмечалось, обычно означает, что x является точным решением. Таким образом, теорема 1 показывает, что в рассматриваемом случае всегда есть пространство, в котором решение задачи существует.

Для числовых функций (принимающих, вообще говоря, значения из множества комплексных чисел C), определенных на метрических пространствах, естественным образом определяется понятие непрерывности.

О п р е д е л е н и е 7. Если X — метрическое пространство, то функция f : X → C называется непрерывной в точке x0 X, если для лю-

Подобным же образом вводится понятие непрерывности функций

нескольких переменных: например, если X и Y — метрические пространства, то функция f : X × Y → C называется непрерывной в точ-

ке (x0, y0) X × Y , если для любых последовательностей xn X,

52.2. Линейные пространства. Напомним некоторые основные понятия линейной алгебры, необходимые для дальнейшего.

О п р е д е л е н и е 8. Множество X называется линейным (комплексным или действительным) пространством, если для любой

пары его элементов x X, y X и любой пары чисел λ, μ (соответственно комплексных или действительных) определена линейная операция λx + μy, обладающая естественными свойствами (см. курс линейной алгебры).

Напомним также, что два линейных пространства X и X называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное

соответствие f : X → X , при котором сохраняются линейные операции, т. е. для любых x, y X и произвольных λ, μ (соответственно комплексных или действительных) выполняется равенство

f (λx + μy) = λf (x) + μf (y).

Отображение f называется изоморфным, или изоморфизмом.

Подмножество Y линейного пространства X называется его подпространством, если из того, что элементы x и y содержатся в под-

множестве Y , следует, что и любая их линейная комбинация содержится в нем:

λx + μy Y.

Как известно, конечная система x1, ..., xn элементов линейного пространства называется линейно независимой, если их линейная

комбинация обращается в нуль только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю.

О п р е д е л е н и е 9. Система {xα}, α A (A — произвольное мно-

жество, называемое в этом случае множеством индексов), называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно

независима.

О п р е д е л е н и е 10. Если X — линейное пространство, а E X,

то множество всевозможных конечных линейных комбинаций элементов множества E называется его линейной оболочкой и обозначается

через L(E).

Элементы линейного пространства часто называют векторами. Если x0 и a — заданные элементы линейного пространства X,

то множество всех точек x этого пространства вида x = x0 + at, −∞ < t < +∞, называется прямой, проходящей через точку x0 в на-

правлении вектора a.

Числовые функции, заданные на линейных пространствах, часто называют функционалами. В частности, этот термин употребляется

обычно тогда, когда элементами рассматриваемого пространства являются функции.

316 Гл. 6. Гармонический анализ

52.3. Нормированные и полунормированные пространства. Рассмотрим теперь пространства, являющиеся обобщением конечномерных векторных пространств.

О п р е д е л е н и е 11. Линейное пространство X называется нормированным, если на нем задана такая действительная функция x , называемая нормой, что:

1◦) x 0 для всех x X;

2◦) (однородность) λx = |λ|x для всех x X и всех чисел λ (комплексных или действительных);

3◦) (неравенство треугольника) x + y x + y для всех x X

и y Y ;

4◦) если x = 0, то x = 0.

Если в качестве чисел берутся комплексные числа, то линейное нормированное пространство называется комплексным, а если только действительные, то действительным.

Если для функции x выполняются условия 1◦)–3◦), то эта функция называется полунормой, а линейное пространство X — полунормированным. Согласно этому определению норма пространства явля-

ется, конечно, и полунормой. Норма (полунорма) · пространства X

Из (52.13) и (52.14) непосредственно следует (52.12).

Два нормированных (полунормированных) пространства X и X называются изоморфными, если существует изоморфное отображение

(изоморфизм) f : X → X линейных пространств X и X , сохраняющее норму (полунорму), т. е. для любого x X имеем

f (x) X = x X .

П р и м е р 3. В n-мерном действительном арифметическом векторном пространстве Rn длина вектора

полунормой, но не нормой.

П р и м е р 4. Определим n-мерное комплексное арифметическое векторное пространство Cn. Его элементами z по определению яв-

ляются конечные упорядоченные совокупности (z1, ..., zn) из n комплексных чисел: zk C, k = 1, 2, ..., n. Если z = (z1, ..., zn) Cn и w = (w1, ..., wn) Cn, a λ C, μ C, то

В силу этого определения множество Cn является линейным пространством. Длина |z| вектора z Cn определяется по формуле

Длина |z| вектора z Cn является нормой в пространстве Cn: |z| = = z .

Проверка того, что функционалы · (см. п. 52.2) в примерах 1–4 действительно являются нормами, проводится без труда и предоставляется читателю.

П р и м е р 5. В линейном метрическом пространстве B(X) действительных ограниченных функций, определенных на некотором множестве X, функционал

является нормой.

Эта норма называется обычно равномерной нормой функции. Если f — ограниченная на множестве X функция, то для любого

x X имеем

0 |f (x)| f < +∞.

следует из свойства 8◦ определенного интеграла из п. 24.1 и из определения несобственного интеграла в п. 29.1. Поэтому, если f = 0, то f = 0.

П р и м е р 8. Пусть X — компакт в Rn. Обозначим через C(X) линейное пространство непрерывных на X функций. В этом пространстве функционал

является нормой (он совпадает с нормой (52.15)).

Л е м м а 3. Если · является нормой в пространстве X, то функция

является метрикой в X.

Действительно, для любых точек x X и y Y имеет место неравенство ρ(x, y) = x − y 0, причем если ρ(x, y) = 0, т. е. x − y = 0,

то x − y = 0, и, следовательно, x = y. Далее,

4◦)

= ρ(x, z) + ρ(z, y).

(52.18)

Таким образом, функция (52.18) удовлетворяет всем свойствам расстояния.

Итак, всякое нормированное пространство является и метрическим пространством с метрикой (52.18). Очевидно, что в примерах 1, 2, 3, 5 и 7 метрики, порожденные указанными там нормами, совпадают с метриками этих пространств, рассмотренными в п. 52.1.

и lim xn − x = 0, то последовательность {xn} называется сходя-

n→∞

щейся к точке x по данной полунорме (соответственно по норме). В этом случае пишут lim xn = x или xn → x при n → ∞ и говорят,

n→∞

что точка x является пределом последовательности xn.

В полунормированном пространстве из условия x − y = 0 не следует, вообще говоря, что x = y. Поэтому у «сходящейся» в полунормированном пространстве последовательности может быть несколько разных пределов.