Краткий курс математического анализа. Том 2

110 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

из U (рис. 18). Это означает, что для

x = (x1, ..., xm+1, x(m0)+2, ..., x(n0))

и

x = (x1 , ..., xm+1, x(m0)+2, ..., x(n0))

выполняются соотношения (см. (41.12))

f0(x ) = f0(x(0)) + η, f1(x ) = ... = fm(x ) = 0

и

f0(x ) = f0(x(0)) − η, f1(x ) = ... = fm(x ) = 0.

Таким образом, точки x и x удовлетворяют уравнениям связи, причем в первой из них значение функции f0 больше f0(x(0)), а во вто-

рой — меньше.

Поскольку окрестность U была

произвольной сколь угодно малой

окрестностью точки x(0), то это означает, что сколь угодно близко от точки x(0) есть точки, удовлетворяющие уравнениям связи, в которых функ-

ция f0 принимает значения, как большие, так и меньшие значения f0(x0).

Это означает, что точка x(0) не является точкой условного экстремума — противоречие.

Для доказательства следствия заметим, что если векторыf1, f2, ..., fm линейно независимы, то в равенстве (41.4) имеем λ0 = 0, так как в случае λ0 = 0 указанные векторы оказались бы линейно зависимыми. Разделив обе части равенства на λ0 и обозначив λk/λ0 снова через λk, k = 1, 2, ..., m, получим равенство (41.5).

З а м е ч а н и е. Для отыскания точек, удовлетворяющих необходимому условию для условного экстремума, пишут функцию Лагранжа (41.7) с неопределенными коэффициентами λ1, ..., λm и решают систему m + n уравнений (41.1) и (41.6) относительно m + n неизвестных λ1, ..., λm, x1..., xn.

41.3. Достаточные условия для условного экстремума.

Пусть функции f0, f1, ..., fm дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x(0) и градиенты f1, f2, ..., fm линейно независимы в этой точке.

Те о р е м а 2. Пусть точка x(0) удовлетворяет уравнениям связи и является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е.

Если второй дифференциал

d2F (x(0)) = n ∂2F (x(0)) dxi dxj i,j=1 ∂xi ∂xj

функции Лагранжа в точке x(0) принимает только положительные (отрицательные) значения при всех значениях dx1, ..., dxn, не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи (41.1), т. е. уравнениям

то точка x(0) является точкой строгого условного минимума (максимума). Если при тех же ограничениях на значения dx1, ..., dxn второй дифференциал функции Лагранжа принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке x(0) условного экстремума нет.

т. е. являются решениями системы уравнений (41.16).

Воспользуемся тем, что точка x(0) = (x(10), ..., x(n0)) является точкой строгого условного экстремума функции при выполнении урав-

нений связи (41.16) тогда и только тогда, когда точка x(0) = (x(m0)+1, ...

..., x(n0)) является точкой обычного строгого локального экстремума для функции

ной формой. Вычислим эти дифференциалы. Для удобства функции f , k = 1, ..., m, функцию Лагранжа F , в которых переменные

112 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

x1, ..., xm являются функциями (41.17) переменных xm+1, ..., xn, бу-

дем обозначать соответственно fk и F (ср. (41.18)). Подставив (41.17) в (41.16), получим тождества fk = 0, k = 1, 2, ..., m, продифференцировав которые в точке x(0) получим (см. (41.19))

dfk = 0, k = 1, 2, ..., m.

Используя независимость формы записи дифференциала функции от выбора переменных (см. п. 36.4), равенство (41.20) можно записать

k=1

— функция Лагранжа для точки x(0), т. е. координаты x(10), ..., x(n0) этой точки и числа λ1, ..., λm являются решениями системы уравнений (41.1) и (41.6).

где по-прежнему дифференциалы dx1, ..., dxn связаны соотношениями (41.21). Теперь для второго дифференциала функции (41.18) имеем

где дифференциалы dx1, ..., dxn удовлетворяют соотношениям (41.21). Поэтому если дифференциалы dx1, ..., dxn не все равны нулю, связаны соотношениями (41.21) (в этом случае в силу выполнения условия (41.15) из теории линейных уравнений следует, что не все

равны нулю и приращения dxm+1, ..., dxn) и для них

n ∂2F (x(0)) dxi dxj > 0, i,j=1 ∂xi ∂xj

то в силу формулы (41.25) для dxm+1, ..., dxn будем иметь d2f0(x(0)) > > 0. Отсюда в силу выполнения условия (41.23) следует (согласно теореме 2 п. 39.2), что точка x(0) является точкой строгого локального минимума для функции f0, а поэтому точка x(0) — точкой строгого условного минимума для функции f0 при выполнении уравнений связи (41.16).

Аналогично (с помощью той же теоремы 2 п. 39.2) получаются достаточные условия для точки строгого условного максимума и для отсутствия условного экстремума.

З а м е ч а н и е. Очевидно, что если в рассматриваемой точке второй дифференциал функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, т. е. принимает положительные (отрицательные) значения для всех одновременно не равных нулю значений dx1, ..., dxn (т. е. без дополнительных на них ограничений (41.14)), то точка x(0) является точкой строгого условного минимума (максимума).

П р и м е р. Найдем, применив метод множителей Лагранжа, точки условного экстремума функции f (x, y) = xy при выполнении уравнения связи x − y = 0.

В этом случае функция Лагранжа имеет вид

F (x, y) = xy + λ(x − y).

Решая соответствующую систему уравнений (41.6) совместно с уравнением связи, т. е. систему уравнений

x − y = 0, y + λ = 0, x − λ = 0,

получим x = y = λ = 0.

Чтобы выяснить, имеется в точке (0, 0) условный экстремум или нет, исследуем второй дифференциал

d2f (x, y) = 2 dx dy

114 Гл. 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

при условии

dx − dy = 0,

получающемся дифференцированием уравнения связи x − y = 0.

— положительно определенная квадратичная форма. Следовательно, в точке (0, 0) имеется строгий условный минимум. В этом, конечно, легко убедиться и непосредственно: из уравнения связи получим y = = x, а функция

в точке x = 0 имеет минимум.

Г л а в а 5

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§42. Кратные интегралы

42.1.Объем (мера) в n-мерном пространстве. Пусть Rn

является n-мерным арифметическим пространством точек x = (x1, ...

..., xn). Множество точек x Rn, координаты xi, i = 1, 2, ..., n, которых удовлетворяют линейному уравнению вида

a1x1 + ... + anxn + a0 = 0, a21 + ... + a2n > 0

(ai — фиксированные числа, i = 1, 2, ..., n), называется гиперплос-

Совокупность всех таких кубов обозначим Tk и назовем кубильяжем ранга k пространства Rn, а кубы Q, входящие в кубильяж Tk,

будем называть кубами ранга k. Пересечение множества внутренних точек любых двух кубов ранга k пусто: в пересечение двух указанных кубов могут входить только их граничные точки.

Очевидно, что при любом k = 0, 1, 2, ... совокупность всех кубов ранга k покрывает все пространство Rn:

Rn = Q.

Q Tk

В одномерном случае, т. е. при n = 1, кубы Q являются отрезками, при n = 2 — квадратами, при n = 3 — обычными трехмерными кубами.

По аналогии с формулой для объема обычного трехмерного куба определим объем μQn n-мерного куба

Qn = {x : x(i0) x x(i0) + h, i = 1, 2, ..., n}

116 Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

как n-ю степень длины h его ребра, т. е.

в частности, согласно этому определению для куба (42.1), длина ребра которого равна 10−k, имеем

Объем множества S, состоящего из некоторого множества (конечного или бесконечного) попарно различных кубов Qj ранга k,

Меру пустого множества будем считать по определению равной нулю:

sk(X) множество точек всех тех кубов ранга k, которые целиком содержатся в X, а через Sk(X) — множество точек всех тех кубов ранга k, каждый из которых пересекается с X:

ство sk(X) содержится в X, а множество Sk(X) содержит X:

(множества sk и Sk могут быть и пустыми). Кроме того, при возрастании k множества sk возрастают, а мно-

жества Sk убывают (рис. 19):

(μsk, как и μSk, может быть нулем, положительным числом или +∞). Таким образом, последовательность {μsk} возрастает, а последовательность {μSk} убывает в расширенном множестве действительных чисел R, а поэтому для любого множества X Rn всегда существуют

конечные или бесконечные пределы

Если нижняя и верхняя n-мерные меры Жордана множества X конечны и равны, т. е.

то множество X называется измеримым по Жордану и общее значе-

ние его верхней и нижней n-мерных мер Жордана называется n-мер- ной мерой (объемом) Жордана и обозначается

Итак, в случае измеримого по Жордану множества имеем

В дальнейшем для краткости вместо «верхняя (нижняя) n-мерная

мера Жордана», «n-мерная мера Жордана», «измеримое по Жордану множество» будем, как правило, говорить просто верхняя (нижняя) мера, мера, измеримое множество. Если будет важно указать, ка-

кова размерность n пространства, в котором рассматривается мера μ (42.16), то она будет обозначаться μn.

118Гл. 5. Интегральное исчисление функций многих переменных

Вслучае n = 2 измеримые по Жордану множества называются также квадрируемыми, а при n = 3 — кубируемыми.

ство Q0 рациональных чисел отрезка [0, 1]: как легко убедиться,

а тогда для k = 0, а следовательно, и для всех k = 0, 1, 2, ... выполняются включения

где куб Qm+1 определяется аналогично кубу (42.18), надо только m заменить на m + 1. Из включений (42.20), согласно определениям (42.3) и (42.6), следует, что

следовательно, верхняя мера множества X конечна, а тогда в силу неравенства (42.15) конечна и его нижняя мера.

З а м е ч а н и е 3. Если множество X неограниченно, то

поэтому, если множество X измеримо, то оно ограничено.

Действительно, множества Sk(X) при любом k = 0, 1, ... содержат в себе множество X (см. (42.10)), поэтому при неограниченности множества X множества Sk(X) также неограничены и потому состоят из бесконечного множества кубов ранга k (в противном случае Sk(X), а следовательно, и X Sk(X) были бы ограниченными

множествами). Отсюда, согласно определению (42.6), получаем, что при любом k = 0, 1, 2, ... имеет место μSk(X) = +∞, и поэтому

μ X = lim μSk(X) = +∞.

k→∞

Если множество X измеримо, то его мера, а следовательно, и верхняя мера (так как они равны) конечны, и потому, согласно доказанному, множество X не может быть неограниченным.

З а м е ч а н и е 4. Нетрудно убедиться методами, применяемыми в элементарной математике для получения формул площади прямоугольника и объема трехмерного прямоугольного параллелепипеда, что объем любого n-мерного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям, равен произведению длин его ребер.

Отсюда, в частности, следует, что объем куба ранга k в смысле определения (42.17) равен 10−kn, т. е. совпадает с его объемом в смысле определения (42.4).

Подобным образом совпадают и меры множеств sk(X) и Sk(X), X Rn, и множеств S, состоящих из некоторого множества попарно различных кубов одного и того же ранга (см. (42.5)) в смысле определений (42.6) и (42.16). Поэтому все эти множества измеримы.

Кроме того, поскольку при параллельном переносе (т. е. преобразовании пространства Rn вида y = x + a, x, y, a Rn, a фиксировано) длины ребер параллелепипедов не меняются, то из сказанного выше следует также, что при параллельном переносе объемы рассматриваемых параллелепипедов и множеств, представляющих собой их объединения, не меняются.

Отметим еще, что открытые и полуоткрытые n-мерные кубы с реб-

рами длины h, т. е. кубы, задаваемые при каждом i = 1, 2, ..., n одним из неравенств вида x(i0) < xi < x(i0) + h или x(i0) xi < x(i0) + h или x(i0) < xi x(i0) + h, также имеют меру Жордана, равную hn.

У п р а ж н е н и е 1. Доказать утверждения замечания 4. Л е м м а 1 (монотонность нижней и верхней мер). Если

С л е д с т в и е. Подмножество множества меры нуль также имеет меру нуль.

Если X1 X2, то при любом k = 0, 1, 2, ... справедливы включения sk(X1) sk(X2), Sk(X1) Sk(X2),

так как в силу включения X1 X2 из того, что куб Q ранга k содержится в X1, следует, что он содержится и в X2, а из того, что