Содержание работы

1. Запись дифференциалов первого и второго порядков для функции двух и трех переменных

2. Задачи на локальный экстремум

3. Задачи на условный экстремум

4. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области

Литература [1,2,17]

Элементы теории

Вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление функций одной переменной, считая все переменные постоянными, кроме той, по которой ведется дифференцирование.

Первым дифференциаломназывают линейную относительно приращений часть полного приращения функции, которая для функции двух переменных имеет вид:

,

а для функции трех переменных:

.

Производная по направлению задает скорость изменения функции в заданной точке по заданному направлению :

.

Градиентом дифференцируемой функции называют вектор, координатами которого являются частные производные в заданной точке:

.

Производная по направлению является проекцией вектора градиента на это направление:

.

Анализ последнего выражения показывает, что градиент является направлением, скорость изменения функции вдоль которого максимальна.

Касательная плоскость содержит касательные ко всем кривым, проходящим через данную точку поверхности :

.

Производную сложной функции находим по правилу

,

а производные сложной функции согласно правилу:

.

Производную функции, заданной неявно , находят согласно правилу:

.

Для функции определеныпроизводные второго порядка:

, , , .

Для функции , кроме указанных выше производных, определены следующие производные второго порядка:

, ,,,.

Заметим, что в точках непрерывности смешанные частные производные равны.

Дифференциалы второго порядка определяются согласно соотношениям:

,

.

Формула Тейлора в окрестности точки с точностью до бесконечно малых второго порядка имеет вид:

Точкой локального экстремума называют точку непрерывности функции , в окрестности которой приращение функции сохраняет знак:- точка локального минимума,- точка локального максимума. Необходимые условия существования экстремума записываются следующим образом:

,

что равносильно системе уравнений для нахождения критических точек функции:

или .

Достаточные условия существования экстремума определяются знаком приращения функции, который в свою очередь определяется знаком второго дифференциала:

, то точка является точкой локального минимума,

, то точка является точкой локального максимума.

По своей структуре второй дифференциал является является квадратичной формой относительно дифференциалов и ему ставится в соответствие матрица:

.

Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма является положительно определенной, если положительны все главные диагональные миноры этой матрицы:

, , .

(условия существования локального минимума), и является отрицательно определенной при условии ( условия существования локального максимума).

Для нахождения точек условного экстремума исследуют на обычный экстремум функцию Лагранжа

.

Здесь - условие связи, а- множитель Лагранжа. При этом достаточные условия существования экстремума выражаются через знак второго дифференциала(условие минимума),- условие максимума. Знак второго дифференциала можно анализировать непосредственно при наличии условий связи.

Задачи

1. Запишите производные второго порядка для указанной функции, в указанной точке.

Запишите второй дифференциал.

Запишите матрицу, соответствующую d²f.

Запишите разложение по формуле Тейлора в указанной точке:

а)

б)

2. Исследуйте функцию на локальный экстремум:

а)	б)
в)

3. На эллипсоиде Х²+2У²+4Z²=8 найти точку, наиболее удалённую от М₀(0;0;3).

4. Метод наименьших квадратов.

По точкам, полученным в некотором эксперименте, требуется провести прямую линию таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от предполагаемой прямой была наименьшей.

у=Ах+В – искомая функция;

А,В – искомые коэффициенты.

Функция должна достигать минимума при выбранных А,В.

Исследуйте функцию S(A,B) на локальный экстремум.

Получите выражение для А, В, соответствующие экстремуму.

Постройте по методу наименьших квадратов прямую по точкам:

Хi	Уi
2	2
4	2
6	5
7	4
9	8

Контрольные вопросы Дайте определение частной производной первого порядка и производной по направлению. Какова взаимосвязь между ними? Дайте определение градиента скалярного поля. Какова взаимосвязь между градиентом и производной по направлению? Найдите направление наибыстрейшего возрастания функции в точке . Какова скорость изменения функции в этом направлении? Запишите общее выражение для дифференциала первого порядка функции двух и трех переменных Найдите смешанные производные для функции . Частная производная функции  по переменной  в точке  равна… Частная производная функции  по переменной  в точке  равна… Частная производная функции  по переменной  в точке  равна… Линиями уровня функции   являются … Ответы: Задача 2. а)(-1;1) – максимум; (1;-1) – минимум; б)(-3;2;-1) – максимум; в)(2; -6; 1) – минимум;

Задача 3. Х0;=-1; М1(2;0;-1); М2(-2;0;-1);d2L0;

Задача 4 и примечания к ней У=0,8Х–0,4;

принимает наименьшее значение. Записываем необходимые условия существования экстремума для функции двух переменных , приравнивая к нулю частные производные: . В результате для нахождения оценок получаем систему уравнений: , решение которой имеет вид : ,.

	Уi
2	2
4	2
6	5
7	4
9	8