МАТЕМАТИКА ZIP File / Математика 2 сем Сам раб 140400 140100

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

( p)B( p) G( p)B( p).

( p)B( p) G( p)B( p).

A 1 ( p) G( p)

называется

преобразователем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

				61
Переходя к изображениям	3	3	,	y(t) Y( p),
Переходя к изображениям	3	p	,	y(t) Y( p),
		p

y (t) pY( p) 1,

y (t) p2Y( p) p,

получаем операторное уравнение

p2Y( p) p 2 pY( p) 2 5Y( p) 3p

и его решение
Y( p)	3	p 2	p2 2 p 3
				.
	p( p2 2 p 5)	p2 2 p 5	p( p2 2 p 5)

Переходя к оригиналам, получаем искомое решение:

y(t) res Y( p)e pt p 0

	3		2 Re	( p2 2 p 3)e pt
	5			p( p 1 2i)

2 Re res Y( p)e pt				p 1 2i

	3	2	e t cos2t		1	e
p 1 2i	5	5
					5

При решении операторным способом правая часть уравнения задана функцией, имеющей точки разрыва 1-го рода.

t sin 2t.

может быть

Пример 6. Найти частное решение уравнения, для которого правая часть

x(t) приведена на рис.

y y kx(t), k > 0,

x(t) (t a) (t b), y(0) 0; y (0) 2.

x(t)

Переходя к изображениям:

y(t) Y ( p),

y (t) pY ( p) y(0) pY ( p),

y (t) p2Y( p) y(0) p y (0) p2Y( p) 2,

e ap e bp

x(t) p p ,

получаем алгебраическое уравнение

Y( p)( p2 p) 1p (e ap e bp ) 2.

Тогда решение запишется в виде:

Y( p)

Переходя к оригиналам и получаем решение:

2	e ap e bp
		.
p( p 1)	p2 ( p 1)
используя	свойство запаздывания оригинала,

2e pt

2 2e t .

res

p( p

p( p 1)

p 0

p( p 1)

p 1

e pt

res

p2 ( p 1)

p2 ( p

p 0

p2 ( p

p 1

e t t 1,

p 0

p 1

Результат записывается следующим образом:

y(t) 2 2e t (e (t a) (t a) 1) (t a) (e (t b) (t b) 1) (t b),

2 2e t ;

0 t a;

X ( p), Y ( p)

y(t)

2 2e t e (t a) t a 1 1 a 2e t e (t a) t;	a t b;
1 a 2e t e (t a) t e (t b) t b 1 2 a b 2e t e (t a) e (t b) ; t b.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений операторным методом

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

x a11 x a12 y f1 (t)y a21 x a22 y f 2 (t)

c начальными условиями x(0) x0 ; y(0) y0 .

Считая функции x(t); y(t); f1 (t); f 2 (t) функциями-оригиналами и переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений относительно переменных X ( p), Y ( p) :

( p a11 ) X ( p) a12Y( p) x0 F1 ( p)

a21 X ( p) ( p a22 )Y( p) y0 F2 ( p).

Решая эту систему методом исключений, методом Крамера или матричным методом, находим изображения . Возвращаясь к оригиналам, получаем решение:

x(t) X ( p);

y(t) Y( p).

Рассмотрим более подробно матричный метод решения полученной алгебраической системы, вводя следующие матрицы:

p a11
A( p)	a21

a
12			матрица коэффициентов системы;
p a22

X ( p)

X ( p) матрица искомых функций;

Y( p)

x		F ( p)
B( p)	0	1	матрица, включающая начальные условия и
y0		F2 ( p)

изображения правых частей. Исходная система записывается как матричное уравнение:

A( p) X ( p) B( p),

решением которого является матрица:

фундаментального решения системы или матрицей Грина. По правилу нахождения обратной матрицы получаем:

G( p)						1					p a22			a12
														p a		.
	p2	(a		a		) p (a a		a				a
			11		22		22		21	a )			21		11
						11				12
Оригинал G(t)		матрицы			G( p) называют матричной функцией отклика,

фундаментальным решением или матричной функцией Грина:

g11 (t) G(t)

g21 (t)

g12 (t)

g22 (t) .

Таким образом, решение системы записывается в виде матрицы:

ˆ	X ( p)	g11( p)
X ( p)
			( p)
	Y ( p)	g21

g11( p)x0 g12 ( p) y0 g11( p)F1( p) g12 ( p)F2 ( p)

g21( p)x0 g22 ( p) y0 g21( p)F1( p) g22 ( p)F2 ( p)

Переходя к оригиналам в каждой из строк этой матрицы, получаем

окончательное решение системы:
	X ( p)		X (t)	X (t).
X ( p)				X (t).

Y( p)		Y(t)

Пример 7. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

dx 2x 9 y e5t ;dt

dy x 8y; x(0) 1; y(0) 0.

Переходя к изображениям:

x(t) X ( p); y(t) Y( p);

x (t) pX ( p) x(0) pX ( p) 1;

y (t) pY( p) y(0) pY( p),

получаем систему алгебраических уравнений:

		1
pX ( p) 1	2 X ( p) 9Y( p)
pX ( p) 1	2 X ( p) 9Y( p)	p 5,
		p 5,

pY( p) X ( p) 8Y( p);

Матрица A( p) этой системы имеет вид:


( p 2) X ( p) 9Y( p) 1

X ( p) ( p 8)Y( p) 0.

p 5 ,

			p 2			9
		A( p)		1			,
				1	p 8
обратная матрица A 1 ( p) G( p):
G( p)		1	p 8	9		1			p 8	9
										.
	p2	10 p 25					( p 5)			.
	p2	10 p 25	1	p 2			( p 5)	2	1	p 2

			1
	B( p)	1		.
Введем матрицу	B( p)	1	p 5	.
Введем матрицу
			0
			0

		67
				p 8		9		1
X ( p)		1
X ( p)
							1
X ( p)	G( p)B( p)				1	p 2		p 5
X ( p)	G( p)B( p)							p 5
Y ( p)		( p 5)	2

								0
								0

( p 8)

p 8

( p 5)2

( p 5)3

( p 5)

( p 5)2

( p 5)

p 8

X ( p)

( p

8)e pt

( p 8)e pt

( p 5)2

( p 5)3

p 5

e pt ( p 8)te pt

te pt t2 ( p 8)e pt te5t

p 5

3t2

p 5

e5t 3te5t

(te5t 3t2e5t te5t

e5t 2te5t

e5t

Y ( p)

te5t

t2e5t

y(t).

( p 5)2

( p 5)3

Решение системы имеет вид:

X (t)

t 2

p 5

x(t);

ЗАДАЧИ

1. Решите дифференциальные уравнения

	Условия задачи	Ответ
1	y y t 3 6t	t 3
	y y t 3 6t	t 3

	y(0) y (0) 0

y cost sin 2t

t sin t

sin t

sin 2t

y(0) y (0) 0

y y 10e2t

e2t

4 cost 2 sin t 5

y(0) y (0)

y (0)

y (4) y et

2t 3

cost sin t)

y(0) y (0)

y (0)

(0)

y 5y 6 y 2 cos3t

e2t

cos3t

sin 3t

y(0) y (0)

y 2 y y x(t)

1 e

(t)

y(0) y (0)

t ( ; 0)

2 1 e (t 2) (t 2)e (t 2) (t 2)

t [0; 2]

x(t)

t (2; )

Ty y x

(t T

y(0) 0

e T

(t)

1 e

(t T1 )

x(t) прямая, заданная

на отрезке

[0 ;T1 ]

x(0) 2,

x(T1 ) 4

2. Решите системы линейных дифференциальных уравнений

Система

Ответ

x x 5 y 1

p 1

G( p)

y x y e

p 2 4

x(0) 0,

y(0) 1

p 1

5 p

p 1

X ( p)

p 2 4

p( p 1)

p 1

cos 2t

sin 2t

X (t)

cos 2t

sin 2t

cost sin t

X (t)

e 6t

2 cost 2

y e

y 2x 5 y

x(0) y(0) 0

x 4x 3y t

y 2x y e t

X (t)

2 4

x(0) 1,

y(0) 0

x 4x 5 y 4

4 5t

4 cos 2t 7 sin 2t

X (t)

y 4x 4 y 4t

3 4t 6 cos 2t 4 sin 2t

x(0) 0,

y(0) 3

x 2 y 2z

2e t

sin t

x y z

X (t)

e t cost

z y z

e t sin t

x(0) z(0) 0,

y(0) 1

7. Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формула Грина, формула Дюамеля)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Y ( p) H ( p)X ( p) .

Пусть входное воздействие является импульсной функцией (t).Поскольку

(t) 1, изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией:

Y ( p) H ( p) .

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

w(t) H( p).

Поскольку изображение выходного сигнала Y ( p) является произведением

изображений, то и оригинал		y(t) можно представить как свертку оригиналов
x(t) и w(t) :

	t	t
	y(t) w( )x(t )d w(t )x( )d .
	0	0

Таким образом, при известной функции Грина можно найти отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

y y x(t) , y(0) y (0) 0.

Взяв в качестве правой части импульсную функцию x(t) (t) и переходя к изображениям, получим передаточную функцию:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА ZIP File

#
10.05.20152.69 Mб39Математика 2 сем Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.20151.35 Mб54МУ к самост раб 1 сем 140400.doc
#
10.05.20151.13 Mб38МУ к самост раб 1 сем 140400.pdf
#
10.05.20151.49 Mб43Практические бак 1 семестр.doc