Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА ZIP File / Математика 2 сем Сам раб 140400 140100

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

					41
Вычетом	функции в			изолированной				особой		точке	z0 называют
коэффициент	C 1	при		1		разложения в ряд Лорана в окрестности этой


			z	z0
точки:	C 1	res f (z0 ) .				С другой	стороны			вычет	выражается через
контурный интеграл
			C 1		res f (z0 )		1		f (z) dz .
			C 1		res f (z0 )				f (z) dz .
							2 i C

Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Вычет в существенно особой точке находят непосредственно как коэффициент разложения в ряд. В особой точке типа полюс вычет может быть найден как непосредственным разложением в ряд, так и специально полученных формул:

res f (z

)

lim (z z

m f (z))(m 1) ,

(m 1)! z 0

Кроме того для полюса порядка m 1 справедлива формула:

resf (z

) res (z0 )

(z0 )

Вычетом функции f (z)

в точке

называют число

C 1

, которое

является коэффициентом

при

ряда

Лоярана в окрестности

бесконечно

удаленной точки:

res f ( ) C 1

f (z) dz ,

где C - произвольный

замкнутый контур,

ориентированный

по

часовой

стрелке и принадлежащий области аналитичности функции (

0 ).

Основные теоремы о вычетах

Теорема 1. Пусть функция f (z) аналитична на всей комплексной плоскости за исключением конечного числа особых точек z1, z2 , zN .

Тогда имеет место соотношение res f (zn ) res f ( ) 0 .

n 1

Теорема 2. Пусть функция f (z) аналитична в области D и на ее границе С за исключением конечного числа особых точек z1, z2 , zN .

Тогда справедливо f (z) dz 2 i res f (zn ) .

n 1

Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов

(x)

Pn (zk )

dx 2 i

res

, Im z

m n 2;

(x)

k 1

(zk )

I f (x)ei x dx 2 i res f (zk ) ei zk ,

Im zk 0,

f (z)

z ;

k 1

f (x) cos x dx Re I ,

f (x)sin x dx Im I ;

f (zk ) e i zk ,

f (x)e i x dx 2 i res

Im zk 0,

f (z)

z ;

k 1

f (z)et z dz 2 i res f (zk et zk ),

Re zk ;

k 1

f (zk et zk ),

f (z)e t z dz 2 i res

Re zk

k 1

ЗАДАЧИ

1.Схематично постройте множества точек на комплексной плоскости:

z 3 2i

4 ; 2)

z 1

z i

; 3) z 3 2i 4eit (0 t 2 );

1) z 3cos 2t 4sin 2ti ; 5) z 3sh2t ich2t ; 6)

z i

2 ;

7) 2

z 2i

4 ;

2 Im z ;

Re z 2 .

2. Выделить действительную и мнимую части функции:

f (z) e3iz 1; 2)

; f (z) i

2z 2 3) f (z) sh2z ; 4)

f (z) sin(z i) .

Вычислить значения функций:

; 2) Ln(1 i) ;

3) sin i ; 4) sh( 1 5i) ; 5)

cos(3 i) ; 6)

1 i

1) e

;

(1 i)

Найти интеграл по заданной кривой:

1) Im zdz

2) (2z 1)

zdz

ℓ:прямая из

ℓ: z eit

(1+i) в (2+i)

t [0; ]

5.Обосновав аналитичность, вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:

	2i	z 2
2	(z3 z)e 2
1) (z 1) cos zdz ; 2)	(z3 z)e 2
2	1 i

dz .

6. Вычислить интегралы по интегральной формуле Коши:

z 2 dz

z2dz

sin

z 2i

а)

;

б)

;

в)

z 2 1

;

z 1

7. Разложить функцию в степенной ряд в окрестности указанных точек, указать область сходимости, найти вычеты в особых точках:

а)

f (z)

z 1

;

=1+i;

z = 1;

z = ;

z(z 1)

б)

;

z =1;

в)

f (z)

;

z =2i;

z =-1.

f (z) cos

z 2

8.Указать все особые точки, определить их характер и найти вычет

вэтих точках:

	f (z)			z 2
1)	f (z)			z(z 1)(z	1)	2
				z(z 1)(z	1)

3)	f (z)			z

			z2 6z 13
			z2 6z 13
5)	f (z)			1
5)	f (z)	z2 (4 z2 )

f (z)

1 cos z

z 2

f (z)

z sin z

f (z) cos

9. Вычислить интегралы, используя теорию вычетов:

ezdz

1);

z2 ( z2 9)

z2dz

( z 4)4 ;

z 5

sin ( z 1)

dz ;

z2 2 z2

z1i

eit dz

( z2 1)

;

z 1

z sin

z 1

12)

z 1

(x 1)sin 2xdx

15)

x2 2x 2

1 i

zetzdz

18)1 i z2 16 ;

	2
2)	z5e z dz ;
	z	1
		cos2 z
4)		z sin z	dz

z 2

(ez2 1)dz

7)z3 iz2

i 3z


				iz
			e 1			dz
			z3			dz
10)	z	1			;
10)	z	1			;

13)						dx
13)				(x2	4)( x2 9)2

2ti

16)e4 t2 dt

1 i

zetzdz

19)1 i (z2 4)2 ;

z sin

;

( z2 )2

i sin z

z 1

11)

z2 2 z 3

;

x2 x 2

;

14)

10x

ei3t

17)

4 t2

etzdz

20)

;

(z2 1)2

3.Ряды и преобразования Фурье

Рядом Фурье периодической функции, заданной на симметричном интервале ( ) , называют тригонометрический ряд, коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье:

k x

f ( x)

cos

sin

k 1

k x

f ( x)dx ;

f (x) cos

k x

f (x) sin

Пример 1. Разложить функцию, заданную на l,l (рис. 1)

0, l x 0, f (x)

1, 0 x l,

в ряд Фурье по тригонометрическим x функциям.

-l 0	l	2l	3l	4l

	Рис. 1

Замечая, что период f (x) равен

f (x)dx

k x

f (x) cos

	1 l		k x		1		0
bk		f (x) sin		dx			0 sin
	l		l			l
		l					l

T 2l , вычисляем коэффициенты Фурье:

0 dx dx

k x

сos

dx cos

k x

sin

k x

dx sin

cos

			46
	0, k 2n,
1
	(cos k 1)
	(cos k 1)
k		2	, k 2n 1,
k			, k 2n 1,
	k

с учетом того, что cos k ( 1) k .

В результате получаем, что разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид:

																		2n 1	x
																	sin
																	sin
f ( x)			1		2	sin x			2	sin	3 x	2	sin	5 x	...	2		l		...
			1		2				2		3 x	2		5 x		2		l
								3				5						2n 1
			2				l	3			l	5		l				2n 1
							2n 1		x
				sin
				sin
	1	2					n			.
										.
	2	n 0					2n 1

По известному разложению в ряд Фурье легко построить дискретный частотный спектр периодической функции, который наглядно показывает вклад каждой из гармоник в сложное колебательное движение. Для этого строят

диаграмму в координатах (k, Ak ) , где k - номер гармоники, Ak - амплитуда. Для рассматриваемой функции k 2n 1 спектр имеет вид:

2/
1/2	2/(3 )	2/(5 )
1/2
		k
0	3	5
	1

Рис.2

Учитывая четность подынтегральных функций, можно установить

особенности разложения в ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Так, если функция f (x) - четная, получаем:

f (x)dx

f (x)dx;

k x

f (x) cos

dx; k 1,2,3,...;

bk =0

и разложение в ряд имеет вид :

k x

f (x)

ak cos

k 1

Если f (x) - нечетная, справедливо:

a0 0, ak 0,

k 1,2,...

k x

f (x) sin

и разложение в ряд имеет вид:

		k x
f (x) bk	sin		.

k 1		l

ЗАДАЧИ

Разложить указанную периодическую функцию в ряд Фурье. Схематично построить спектр. Найти среднее значение функции на периоде.

f(t)

-L 0

2
		1

	0		t
-2			2
-2			2

Ответы:

(2n 1) t

f (t)

cos

n 0(2n 1) 2

2( 1) k

k t

f (t) 1

sin

k 1

cos 2nt

f (t)

sin t

n 1

4n 2 1

Преобразования Фурье.

Рассмотрим функцию

f (t) ,

удовлетворяющую следующим условиям: 1)

f (t), f (t) определены на интервале ( ; ), являются непрерывными или кусочно-непрерывными (могут иметь конечное число точек разрыва 1-ого рода);

2) f (t) является абсолютно интегрируемой, то есть несобственный интеграл


f (t)	dt	сходится.
f (t)	dt


Такая функция может представлена интегралом Фурье:

		1
f (t)					f (t)e i t dt ei t d .
f (t)					f (t)e i t dt ei t d .
		2

Внутренний интеграл называют прямым преобразованием Фурье
		1
S ( )		1	f (t)e i t dt
S ( )	2		f (t)e i t dt			,
	2


а интеграл

f (t) S( )ei t d

называют обратным преобразованием Фурье.
Прямое преобразование Фурье				S( ) называют также спектральной

плотностью. Эта функция дает анализ частотного состава временного сигнала f (t) . В отличие от спектральной плотности периодической функции функция S( ) является непрерывной и служит огибающей для соответствующего

дискретного спектра.

Пример 2. Найти спектральную плотность одиночного прямоугольного

импульса (рис. 2):
f(t)	1		0,	t l / 2;
	1		0,	t l / 2;
				l / 2 t l / 2;
			f (t) 1,	l / 2 t l / 2;
				t l / 2.
l/2	0 l/2	t	0,	t l / 2.
l/2	0 l/2	t

Рис. 2

	1		1	l/2	1	1		l/2

S( )		f (t)e i t dt		e i t dt			e i t

	2		2	l/2	2	i		l/2

sin

1 e 2 e

S( /2

-2 /l	0 2 /l
Рис. 3

График функции S( огибает дискретный спектр частот прямоугольного периодического импульса (рис. 3):

Косинус- и синуспреобразования Фурье

В общем

случае спектральная

плотность S( ) является функцией

комплексного переменного:

S( ) U ( ) iV ( )

S( )

f (t)e i t dt

f (t) cos tdt i

f (t) sin tdt

;

U( ) Re S( );

V ( ) ImS( ).

Если функция f (t) является четной,

то мнимая часть

V ( ) 0 (как

интеграл от нечетной функции на симметричном интервале). Спектральная плотность в этом случае имеет вид:

	1		1
U ( ) Re S( )		f (t) cos tdt		f (t) cos tdt.
	2
				0

Полученное преобразование называют косинус-преобразованием Фурье. Если функция f (t) является нечетной, то вещественная часть U ( ) 0 и

спектральная плотность имеет вид:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА ZIP File

#
10.05.20152.69 Mб39Математика 2 сем Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.20151.35 Mб54МУ к самост раб 1 сем 140400.doc
#
10.05.20151.13 Mб38МУ к самост раб 1 сем 140400.pdf
#
10.05.20151.49 Mб43Практические бак 1 семестр.doc