Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИКА ZIP File / Математика 2 сем Сам раб 140400 140100

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

б) А ( yz xy)i (xz X22 yz 2 ) j (xy zy2 )k ;

е) А (1z ХУ2 )i ( X1 УZ2 ) j (У1 ZХ2 )k

2.Найти работу векторных полей (из задачи 1 случаи а, б) при перемещении точки из М(1;0;0) в Р(0;2;0):

а) по прямолинейному отрезку МР; б) по дуге эллипса Х 2 У 2 4 1;

Для потенциальных полей работу находить как разность потенциалов.

3. Для указанных векторных полей найти: а) поток через поверхность ;

б) поток через замкнутую поверхность (т. Остроградского–Гаусса); в) циркуляцию по контуру L по теореме Стокса

1. А (х2 у 2 )i ( у 2 z 2 ) j (z 2 x2 )k

: Z = 4 – 2(x2+y2); z=2(x2+y2);

: часть z=2, ограниченная линией пересечения параболоидов

L: линия пересечения с z=2(y 0); y=0 (z 2);

2. А 2хi у j zk

: у2+z2 = Rx; x=R;

: часть x=R, отсекаемая параболоидом

L: линия пересечения параболоида с х = R;

Контрольные вопросы

1.Дифференциальные операции первого порядка над векторными полями: дивергенция, ротор (вычисление в декартовой системе координат)

2.Оператор «набла» и выражение с помощью этого оператора градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторных полей

3.Дифференциальные операции второго порядка для векторных полей

4.Определения вихревого и потенциального векторных полей

5. Интеграл от векторной функции вдоль кривой. Свойства.

Вычисление

6.Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля

7.Свойства потенциального поля

8.Потенциал. Способ вычисления

9.Поток векторного поля через ориентированную поверхность. Свойства. Вычисление.

10.Теорема Остроградского-Гаусса. Определение дивергенции

11.Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса


12.Найти работу векторного поля A (x2 y; x3 / 3) при перемещении
материальной точки вдоль кривой	(x 4)2	(x 2)	2	1.
	4	9

Ответы

Двойные интегралы:

2. а)158 , б) 215a 5 ; в) е ; ж) ;

3) 56 5 43 ;

Тройные интегралы:

4) 5–е-4;

а) 222 ;

б)

;

в)

;

Применение кратных интегралов

а)

105а

;

X Z 0; У

124

б)

MR2

;

в) IZ

HR4 ; I X IУ

HR4

2H 2

3R2 ;

Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода:


2)	5			5 2 2						;
2)										;
					6
					2						1			1		;
					2						1			1
9) X						;У						; Z
9) X						;У						; Z
					5						5			2

10)		2											2		12		3 2		;
		2			(			27 1);							12		3 2
					(			27 1);
			3													15
11) m							a 2R3													4R	;
							a 2R3					; X У 0;						Z		4R
							2					; X У 0;						Z		3
							2													3
Теория поля
а) 8 ;				15				;	4		;		б) R3; 2πR3; 0
а) 8 ;								;			;		б) R3; 2πR3; 0
					4		3

Самостоятельная работа РГР № 13 (0,456 ЗЕ)

Дифференциальные уравнения

Срок выполнения 5- 8 недели

Содержание работы

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли);

2.Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка;

3.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Литература [1, 2, 9, 16]

Дифференциальные уравнения.

Функциональное уравнение

F(x, y, y , y , y(n) 0

связывающие независимую переменную x , искомую функцию y(x) и ее производные, называется дифференциальным уравнением порядка n (порядок уравнения - это порядок старшей производной, входящей в уравнение). Общим решением дифференциального уравнения называется функция y (x,C1,C2 , Cn ) , которая будучи подставлена в уравнение,

обращает его в тождество. Здесь C1,C2 , Cn - произвольные постоянные,

для

определения

которых

задают

начальные

условия:

y(x0 ) y0 ;

; y

(n)

Задачей

Коши

для

y (x0 ) y0

(x0 ) y0

дифференциального уравнения называют задачу нахождения частного решения по заданным начальным условиям. Частное решение определяет кривую на координатной плоскости, которую называют интегральной кривой. Уравнение (x, y,C1,C2 , Cn ) 0 , которое определяет общее

решение как неявную функцию, называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка разделяют на

следующие типы:

Уравнения с разделяющимися переменными y f1 (x) f2 ( y) или

M (x) N ( y) dx P(x) Q( y)dy 0 , которые можно непосредственно

интегрировать, собрав с одной стороны от знака равенства

выражения, зависящие только от одной переменной:

f1 (x) dx

или

M (x)

Q( y)

;

f2 ( y)

P(x)

N ( y)

или

сводятся к

Однородные уравнения y (x) f

уравнениям с разделяющимися переменными при помощи замены:

u x ;

dx x u

или

u y ;

dy y u ;

			15
Линейные уравнения y P(x) y f (x) -					по переменной y ,
			x P( y) x f ( y) -		по переменной x ,
которые сводятся к разделению переменных подстановкой
y(x) u(x) v(x);	y				или
		u v uv
x( y) u( y) v( y);	x			, а также	методом вариации
		u v uv

произвольной постоянной;

Уравнения Бернулли y P(x) y f (x) ym ; m 0, m 1 x P( y) x f ( y) xm

Сводятся к линейным уравнениям подстановкой z y1 m ,							z x1 m ;
Уравнения в полных дифференциалах						P(x, y) dx Q(x, y) dy 0
при	условии	P	Q	(условие		существования полного
		y	x
дифференциала		или	условие потенциальности векторного поля

A P(x, y) i Q(x, y) j ) решаем					путем восстановления		функции –
потенциала U (x, y) такой, что				u	P(x, y),	u Q(x, y) , каким-либо
				x		y
способом, например
	x		y
U (x, y) C P(x, y0 ) dx Q(x, y) dy ,
	x0		y0
где точки M0 (x0 , y0 ),			M (x, y)		лежат в	области непрерывности
функций P(x, y),		Q(x, y) и их производных.

Порядок дифференциальных уравнений высших порядков можно понизить в следующих случаях:

y(n) (x) f (x) . Общее решение в этом случае находят путем n -

кратного интегрирования;

Уравнения вида F(x, y ,

y ) 0 :

y (x) z(x),

y (x) z (x) ;

z( y);

z ;

Уравнения вида F( y, y , y ) 0:

Уравнения, левая и правая части которых могут быть представлены как полные производные по переменной x от некоторой функции. Интегрируя по переменной x , получаем уравнение, порядок которого на единицу ниже порядка исходного уравнения.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения y f (x, y) .

Если функция	f (x, y)	и частная производная	f ( x, y)
			y

непрерывны в некоторой области D плоскости 0XY , то для любой точки области существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Геометрически это означает, что через каждую точку области проходит одна единственная интегральная кривая.

Точки, в которых нарушается единственность решения, называются особыми точками дифференциального уравнения. Интегральная кривая, в каждой точке которой нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением этого уравнения. Особое решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной.

Задача нахождения частного решения уравнения y f (x, y) при условии y(x0 ) y0 может быть приближенно решена численными методами, например:

Метод Эйлера. Значения искомой функции находят по формуле

y(xk 1 ) yk 1 yk h f (xk , yk ) ;

Метод разложения в ряд Тейлора. Решение представляют в виде нескольких первых членов ряда:

y(x) y( x0 ) y (x0 )(x x0 ) y ( x0 ) ( x x0 )2

y( x0 ) f ( x0 , y0 )(x x0 ) 21! f ( x0 , y0 )(x x0 )2

Задачи.

1.Проинтегрируйте дифференциальные уравнения:

1)(1 y)(ex dx e2 y dy) (1 y2 )dy 0; 2) y 4x 2 y 1

3) xy y		x( y e	y
	x2 y2 ; 4)
			x

) y ;

5) ( y2 2x2 )dy 2xydx 0,		y(1) 1;
6) dy ( ytgx 1)dx,	y(0) 3;

													17

7)	(1 y2 )dx (arctgy x)dy ;
									y3									2
																		y )	y
		yctgx sin x ;
8)	y	yctgx sin x ;											9)	(x 1)( y
		3								2 y ;			11) y			x							0
10) y x			sin y xy							2 y ;			11) y		xe		, y(0) 1, y (0)						0
12)	y (tgx) y sin 2x ;												13)		xy y x sin(						y	) 0
12)	y (tgx) y sin 2x ;												13)		xy y x sin(							) 0
																					x
14) 2 yy						1				2	;		15)	xy		y	x 1			0
14) 2 yy						1		( y )			;		15)	xy		y	x 1			0
					2						1
16).		( y )					y y				1
16).							2			x		2
							2					2
				( y )

2. Найдите общее и особое решения дифференциального уравнения, схематично постройте интегральные кривые.

2			4
1) y 1 ( y x)	3	,	3) y (x y)	5	1

3.Установите единственность решения заданного уравнения и найдите решение приближенно (разложение решения в ряд Тейлора, метод Эйлера):


a) y 2cos x xy2 ,		y(0) 1,	x 0 ; 4 ;
b) y y2 x,	y(0) 1
4.Дано дифференциальное уравнение				при	. Тогда первые
три члена разложения его решения в степенной ряд имеют вид …
5.Дано дифференциальное уравнение				при	. Тогда

первые три члена разложения его решения в степенной ряд имеют вид ...
6.Дано дифференциальное уравнение				при	. Тогда
первые три члена разложения его решения в степенной ряд имеют вид ...
Ответы: 4)	,	5)	,	6)

Примеры составления дифференциальных уравнений по

условиям задачи.

Задача 1. Поглощение света при прохождении через воду

Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. Зная, что при

прохождении через слой толщиной 2м поглощается 1 первоначального светового потока, определить, какой процент его дойдет до глубины 12м ?

Решение.
Составим дифференциальное уравнение. Обозначим через				световой
поток, падающий на поверхность на глубине		. При прохождении через
слой воды толщиной	поглощенный световой поток			равен
дифференциалу	,	где	–	коэффициент
пропорциональности (	).

Общее решение дифференциального уравнения получаем путем

разделения переменных			. В результате общее решение имеет
разделения переменных			. В результате общее решение имеет
вид:
		+				.
По условию задачи при			имеем			2	поэтому


2	(	)2 откуда		2			(	2	)	,
2			(	2	) и			2
			(		) и
До глубины		м дойдет световой поток					(				2	)
До глубины		м дойдет световой поток					(					)

что составляет 8,78 первоначального светового потока.

Задача 2.

Найти кривую, у которой сумма длин касательной (точнее длины её отрезка от точки касания до точки пересечения с осью абсцисс ) и подкасательной в любой её точке равна произведению координат точки касания.

Решение.

Пусть

(

) - искомая функция. Проведем касательную в произвольной

точке

кривой

( ) Согласно условию задачи |

| + |

Из прямоугольного треугольника

√(

√1

(

)

) + 2

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

√

+ (

)2 +

Умножая обе части полученного уравнения на дробь

(

) получим

√

+ (

)2 +

Преобразуем его. √

+ (

Возводим обе части в квадрат.

+ ( )2

2( )2

( )2

2( )2

Разделим обе части на

(при условим, что

(

) откуда

Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение

( 2

)

4.По заданным условиям составить дифференциальное уравнение и решить его.

1)	Скорость	остывания		пропорциональна			разности
1)	Скорость	остывания		пропорциональна			разности
	температур тела (T)		и окружающей среды		Т	с	20 С .За 10
						с
	минут тело остыло со 100 C до 60 C . За какое время тело
	остынет до 25 C ?
	Найдите ток I (t)в электрической цепи, заданной уравнением
2)	Найдите ток I (t)в электрической цепи, заданной уравнением
LI RI E sin t,			I (0) 0,	E const,	const
LI RI E sin t,			I (0) 0,	E const,	const

3)В начале семестра один день тянется как два. Через три месяца два дня тянутся как один. К началу сессии времени ни на что не хватает. Найдите время начала сессии t0 , если скорость

течения времени обратно пропорциональна квадратному корню из времени, оставшегося до сессии.

4) Найти кривую, проходящую через точку ( ), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту

же точку с началом координат.

Ответы :

1) T k(T Tc ),

T (0) T0 ,

T TC (T0

TC )e kt , 40 мин

2) I (t)

Е0

( cos t sin t e t ),

L( 2 2 )

При t I (t)

sin( t ),

arctg( / )

(L )2 R2

T (t

) 0,

T (90) 0,5,

T (0) 2,

96, 7 янв

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА ZIP File

#
10.05.20152.69 Mб39Математика 2 сем Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.20151.35 Mб54МУ к самост раб 1 сем 140400.doc
#
10.05.20151.13 Mб38МУ к самост раб 1 сем 140400.pdf
#
10.05.20151.49 Mб43Практические бак 1 семестр.doc