Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матика 2 курс / Фурье Лаплас.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

4.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений операторным методом. Матричная функция отклика

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

c начальными условиями

Считая функции функциями-оригиналами и переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений относительно переменных X(p), Y(p):

Решая эту систему методом исключений, методом Крамера или матричным методом, находим изображения X(p), Y(p). Возвращаясь к оригиналам, получаем решение:

Рассмотрим более подробно матричный метод решения полученной алгебраической системы, вводя следующие матрицы:

матрица коэффициентов системы;

матрица искомых функций;

матрица, включающая начальные условия и изображения правых частей.

Исходная система записывается как матричное уравнение:

решением которого является матрица:

Здесь называется преобразователем Лапласа фундаментального решения системы или матрицей Грина. По правилу нахождения обратной матрицы получаем:

Оригинал матрицы называют матричной функцией отклика, фундаментальным решением или матричной функцией Грина:

Таким образом, решение системы записывается в виде матрицы:

Переходя к оригиналам в каждой из строк этой матрицы, получаем окончательное решение системы:

Можно записать решение, используя свертку оригиналов:

Отметим, что матричная функция отклика совпадает с матрицей , которая представляет собой фундаментальное решение системы, а приведенная выше форма записи решения совпадает с формой записи решения с использованием матричной экспоненты:

Пример 4.11. Найти решение системы дифференциальных уравнений:

Переходя к изображениям:

получаем систему алгебраических уравнений:

Матрица A(p) этой системы имеет вид:

обратная матрица

Переходя к оригиналам:

записываем матрицу отклика :

Решение системы запишем двумя способами.

Первый способ. Введем матрицу

Решение системы имеет вид :

Второй способ. Используем матрицу отклика и свертку оригиналов:

Пример 4.12. Найти токи в электрическом контуре при последовательном замыкании ключей (рис. 4.7).

R = 10 Ом, С = 10Ф,

U(0) = 0.

Пусть ключ разомкнут, замкнут только ключ Тогда при выбранных начальных условиях напряжение на конденсаторе имеет вид:

Записывая уравнения Кирхгофа, получаем систему уравнений:

исключая получим:

Далее переходим к изображениям с учетом начальных условий

Матрица коэффициентов системы имеет вид:

ее определитель равен:

Обратная матрица или матрица Грина записывается следующим образом:

Таким образом, при любом входном напряжении ток в системе равен:

Пусть U(t)=E=20 B. Тогда

Возвращаясь к оригиналам, окончательно получаем:

Далее находим переходные токи после замыкания ключа , при U(t)=E=20 B. Начальные условия в этой задаче уже не являются нулевыми. С учетом того, что напряжение на конденсаторе будет Уравнения Кирхгофа переписываются следующим образом:

Переходя к изображениям, получаем систему алгебраических уравнений:

Матрица коэффициентов системы имеет вид:

Обратная матрица (матрица Грина) запишется:

Ток в системе находится как произведение матриц:

Возвращаясь к оригиналам, находим переходные токи:

Заметим, что исходную систему можно решить и методом исключений, сведя к одному дифференциальному уравнению. Так, система

равносильна дифференциальному уравнению:

Переходя к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, определяем передаточную функцию системы H(p) (проводимость):

функцию веса или функцию Грина:

переходную функцию:

Используя эти функции, можно найти реакцию системы на любое входное напряжение U(t).

Пример 4.13. Найти токи в электрической цепи при замыкании ключей (рис. 4.8).

Рис. 4.8

Запишем уравнения Кирхгофа и получим систему дифференциальных уравнений при замыкании ключа

Исключая переменную получаем систему из двух уравнений:

Перейдем к изображениям с учетом нулевых начальных условий

Матрица коэффициентов системы имеет вид:

обратная матрица (матрица Грина) записывается:

Cледовательно, ток в системе после замыкания ключа находится как произведение матриц:

Здесь приняли

Установившееся значение тока при Поэтому при замыкании ключа начальные условия уже не будут нулевыми: Для падения напряжения на катушке индуктивности справедливо:

Система уравнений Кирхгофа принимает в операторной форме вид:

Решение системы находим методом исключений:

Исходную систему (при разомкнутом ключе ) можно преобразовать в равносильное дифференциальное уравнение:

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, получаем передаточную функцию H(p):

а также другие характеристики системы: функцию Грина (функцию веса)

и переходную функцию системы

Z - ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТА И РЕШЕТЧАТОЙ ФУНКЦИИ

В этом разделе будем рассматривать функции, которые не являются функциями непрерывного аргумента, а представляют собой счетные последовательности:

Символ [....] ввели для обозначения дискретной переменной n (дискретного времени), принимающей только целочисленные значения.

Кроме того, при решении некоторых задач специально переходит от непрерывных функций к дискретным, взяв периодическую выборку из непрерывной функции:

Здесь T - некоторый выбранный период. Например, от непрерывной экспоненты можно перейти к ее дискретному аналогу, вычислив значение функции в точках, кратных, выбранному периоду T:

По аналогии с функцией-оригиналом для непрерывных функций вволят решетчатую функцию или дискретную функцию -оригинал: , которая удовлетворяет следующим условиям:

для всех n<0

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

Линейные разностные уравнения играют по отношению к решетчатым функциям такую же роль как и линейные дифференциальные уравнения по отношению к непрерывным функциям. Численное интегрирование дифференциальных уравнений обычно включает в себя разностные уравнения как промежуточный этап. Действительно, при численном дифференцировании первую производную приближенно заменяют согласно соотношению:

Принимая получаем аналог первой производной - первую прямую конечную разность:

Аналогом второй производной является вторая конечная разность:

Аналогом производной порядка служит я конечная разность:

(5.1)

Для функций дискретного аргумента уравнение в конечных разностях является аналогом дифференциального уравнения для непрерывных функций:

(5.2)

Здесь - искомая функция, - заданная функция. Заменяя конечные разности согласно (5.1), переписываем уравнение (5.2) в виде:

(5.3)

Последнее уравнение позволяет восстановить искомую функцию по заданным начальным условиям:

Для решения разностных уравнений удобен метод Z- преобразований, которые являются аналогом преобразований Лапласа для решетчатых функций.

Z- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

преобразованием для числовой (действительной или комплексной) бесконечной последовательности называют функцию комплексного переменного которая определяется как разложения в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки :

(5.4)

Если функция является решетчатой функцией и удовлетворяет условию то ряд Лорана (5.4) сходится в области то есть вне круга с центром в начале координат и радиусом Функция является в этой области аналитической функцией.

Рассмотрим примеры нахождения Z- преобразований для простейших решетчатых функций

Пример 5.1. Найти Z-преобразование функции .

Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:

Так как данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем и первым членом прогрессии, равным А, то сумма ряда равна:

Область сходимости ряда:

В дальнейшем будем обозначать соответствие между решетчатой функцией и ее Z- преобразованием следующим образом:

Пример 5.2. Найти Z-преобразование для функции

Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:

Область сходимости ряда определяется соотношением: или

Пример 5.3. Найти Z-преобразование функции

Разложение в ряд Лорана функции имеет вид:

Для получим: так как в этом случае остается только одно слагаемое, соответствующее

Пример 5.4. Найти Z-преобразование функции

Разложение в ряд Лорана функции имеет вид:

Пример 5.5. Найти Z-преобразование функции

Разложение в ряд Лорана функции имеет вид:

Пример 5.6. Найти Z-преобразование функции

Разложение в ряд Лорана функции имеет вид:

Здесь использовали полученное ранее соотношение:

Изображения основных решетчатых функций приведены в табл. 2.

Приведем основные свойства Z- преобразований, следующие непосредственно из определения:

Линейность.

Пусть Тогда справедливо соотношение:

Подобие:
Дифференцирование изображения:

Запаздывание оригинала (задержка):

здесь является функцией единичного cкачка.

Табл. 2.

Z - ИЗОБРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ ФУНКЦИЙ


	1


1
n

Опережающий сдвиг оригинала (упреждение):

Действительно, с учетом того, что

получаем доказательство первого соотношения:

Свертка:

5.4. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ X[n] ПО Z - ПРЕОБРАЗОВАНИЮ

Поскольку по определению функция является суммой ряда Лорана в окрестности точки , то для восстановления решетчатой функции (последовательности) нужно любым способом разложить в ряд Лорана и определить коэффициенты этого разложения. Например, можно использовать общую формулу для коэффициентов ряда Лорана в окрестностях :

Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части плоскости.

Пример 5.7. Восстановить решетчатую функцию

Восстановим x[n] двумя способами.

Способ 1. представляем суммой элементарных дробей и записываем разложение в ряд Лорана:

Сопоставляя с определением : , получаем искомую последовательность:

Способ 2. Функцию x[n] восстанавливаем по формуле для коэффициентов ряда Лорана:

С учетом того, что данная функция имеет простые полюсы в точках z=2 и z=3, получаем:

Примечание. Если x[n] - решетчатая функция, то заменяя получаем дискретное преобразование Лапласа для x[n]:

Функция F(q) аналитична в области Формула обращения для дискретных преобразований Лапласа имеет вид:

Все изображения функций и основные свойства изображений совпадают с аналогичными характеристиками Z- преобразований и могут быть получены из них заменой . Но поскольку все формулы при этом будут более громоздкими, в дальнейшем для решения задач будем использовать только Z- преобразования.

5.5 ПРИМЕНЕНИЕ Z - ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

При решении линейных разностных уравнений (5.3):

функции x[n], f[n] считаем решетчатыми функциями (дискретными оригиналами) и переходя к Z - преобразованиям, получаем алгебраическое уравнение относительно функции .Решив алгебраическое уравнение, по изображению восстанавливаем оригинал x[n] и тем самым получаем искомую последовательность x[n].