ЛЕКЦИЯ 1

5 Определение угла между прямой и плоскостями проекций и истинной величины отрезка методом прямоугольного треугольника

построить на эпюре (рис. 13,а). Одним катетом этого треугольника будет горизонтальная проекция отрезка АВ, другой равен разности расстояний концов отрезка АВ от плоскости π1 (B1B0=B21= B2Bx –A2Ax). При этом гипотенуза A1B0 построенного треугольника – истинная величина отрезка АВ, угол α - угол между прямой и плоскостью проекций π1.

Рисунок 13

Аналогичные построение выполняем для нахождения угла между прямой и плоскостью проекций π2 (угла β) (рис. 13,б): на фронтальной проекции прямой, как на катете следует построить прямоугольный треугольник, вторым катетом которого будет разность расстояний концов

отрезка от плоскости π2 (B2B0 = B12=B1Bx – A1Ax). Гипотенуза A2B0

построенного треугольника — истинная величина отрезка АВ.

6 Следы прямой линии

Следами прямой линии называются точки пересечения этой прямой с плоскостями проекций.

В зависимости от того, с какой плоскостью пересекается прямая, следы обозначают и называют:

М – горизонтальный след прямой, M1, M2 – соответственно горизонтальная и фронтальная проекции горизонтального следа прямой.

N – фронтальный след прямой, N1, N2 – соответственно горизонтальная и фронтальная проекции фронтального следа прямой.

Горизонтальный след М прямой АВ (рис. 14) -

точка, принадлежащая как прямой АВ, так и плоскости π1 (ZM = 0,

поэтому M2 ϵ оси Х)

Фронтальный след N прямой АВ – точка,

принадлежащая как прямой АВ, так и плоскости π2

(YM=0, N1 ϵ Х)

Рисунок 14

Для построения на эпюре фронтального следа прямой АВ

необходимо (рис. 15):

1)продлить горизонтальную проекцию этой прямой до пересечения

сосью Х (точка N 1 );

2)из точки пересечения провес-

ти прямую перпендикулярно оси Х;

3)пересечение перпендикуляра

спродолжением фронтальной проекции прямой укажет положение фрон-

тального следа прямой АВ (точка N 2 ). Аналогично для построения

горизонтального следа прямой АВ

(рис.15) надо продлить до пересечения с осью Х ее фронтальную

сечения восстановить перпендикуляр до пересечения с продолжением горизонтальной проекции прямой (точка M 1 ) .

7 Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут быть: параллельными,

пересекающимися (имеющими одну общую точку), скрещивающимися

(не пересекающимися и не параллельными).

Рисунок 16

а) Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, которые являются проекциями точки пересечения прямых (рис. 16,а).

а ∩ b= М  а1 ∩ b1 = М1 ; а2 ∩ b2= М2; М1 М2 + Х

Если в системе π2/π1 одна из рассматриваемых прямых профильная, то для однозначного определения положения прямых следует построить их профильные проекции.

б) Параллельные прямые. По свойству параллельных проекций проекции двух параллельных прямых параллельны между собою; поэтому одноименные проекции таких прямых попарно параллельны между собой

(рис. 16,б).

с ‖ d  c2|| d2 и c1|| d1

в) Скрещивающиеся прямые. Если одноименные проекции двух прямых пересекаются, но точка их пересечения не лежит на одной линии связи (рис. 16,в), то это будут скрещивающиеся прямые. Точки пересечения горизонтальных и фронтальных проекций двух скрещивающихся прямых являются совпадающими проекциями двух различных точек. Такие точки называют конкурирующими и применяют для определения видимости при рассмотрении взаимного положения двух

фигур. На π2 точка В закрывает собой точку А, так как она расположена ближе к наблюдателю (ее горизонтальная проекция B1 расположена дальше от оси x). Аналогично на π1 точка С закрывает точку D, так как точка С расположена выше точки D (точка С расположена дальше от оси x).

8 О проекциях плоских углов

1 Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда его стороны параллельны плоскости проекций (в соответствии с теоремой о равенстве углов с параллельными и одинаково направленными сторонами).

2 Прямой угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.

Докажем это (рис. 17). Пусть, π1 — некоторая плоскость проекций, A B C — прямой, причем ВС || π1, B1C1— проекция стороны ВС угла на плоскость π1. Так как ВС || π1, то B1C1|| ВС.Пусть сторона АВ угла пересекает плоскость проекций π1 в точке К. Проведем KL || B1C1. Прямая KL будет также параллельна и ВС. Следовательно, BKL прямой. Но тогда B 1 K L тоже прямой (теорема о трех перпендикулярах), а значит, и C1B1K тоже прямой угол, что и требовалось

доказать.

Рисунок 17