3.6. Пучки и связки плоскостей

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую , называетсяпучком плоскостей (с центром в ).

Теорема 4. Если и уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых является некоторая прямая , аи произвольные числа, удовлетворяющие условию , то уравнение

(3.12)

определяет плоскость, проходящую через прямую . Более того, найдутсяитакие, что любая плоскость, проходящая через прямую, описывается уравнением (3.12).

Доказательство. Покажем, что при выполнении условия уравнение (3.12) представляет собой уравнение первого порядка. Запишем (3.12) в виде

. (3.13)

Предположим, что в выражении (3.13) все коэффициенты, стоящие перед переменными, обращаются в нуль, т. е. ,и. Так как, то, положив для определенности, получим,,, т. е.. Последнее равенство является условием параллельности плоскостей, задаваемых уравнениямии, и противоречит предположению о том, что эти плоскости пересекаются и не совпадают. Таким образом, при условииуравнение (3.13) (соответственно и уравнение (3.12)) является уравнением первой степени и, как было показано ранее, определяет некоторую плоскость.

Если  произвольная точка линии пересечения плоскостей, задаваемых уравнениямии, то эта точка принадлежит каждой из этих плоскостей, т. е. выполняются равенстваи, следовательно,. Это равносильно тому, что плоскость, задаваемая уравнением (3.12), проходит через линию пересечения плоскостей, определяемых уравнениямии.

Покажем, что найдутся итакие, что любая плоскость, проходящая через прямую, описывается уравнением (3.12). Любая плоскость, проходящая через прямую, определяется заданием еще одной точки, не принадлежащей прямой. Если такая плоскость задается уравнением (3.12), то координаты точкиудовлетворяют уравнению

. (3.14)

Так как точка не принадлежит одновременно двум плоскостям, задаваемым уравнениямии, то не могут одновременно обратиться в нуль выражения, стоящие в скобках выражения (3.14). Для определенности будем считать, что. Тогда при(еслии, то, что противоречит условию) из уравнения (3.14) можем определить коэффициент:

.

При указанных иплоскость, определяемая уравнением (3.12), проходит через точку. Если же, то, рассуждая аналогично, принайдем. Теорема доказана.

Учитывая, что , привведем обозначениеи уравнение (3.12) запишем в виде

. (3.15)

Уравнение (3.15) содержит все плоскости, проходящие через прямую, определяемую как пересечение плоскостей икроме плоскости. Поэтому пучок плоскостей может быть задан совокупностью уравненийи.

Доказанная теорема позволяет задавать прямую, являющуюся линией пересечения двух не параллельных и не совпадающих плоскостей и, не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка (3.12), полученными при произвольных значенияхи.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называетсясвязкой плоскостей (с центром в точке ).

Теорема 5. Уравнение связки плоскостей с центром в точке имеет вид

, (3.16)

где  произвольные числа, не равные одновременно нулю, т. е. они должны удовлетворять условию .

Доказательство. Очевидно, что любая плоскость, задаваемая уравнением (3.16), проходит через точку . Если жеявляется заданной плоскостью, проходящей через точку, то эта плоскость однозначно определяется заданием еще и нормального вектора. Таким образом, плоскость задается уравнением (3.1), совпадающим с уравнением (3.16). Теорема доказана.