3.3. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках

Определение. Общее уравнение (3.2) плоскости называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называетсянеполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.

1. . Уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точкиудовлетворяют этому уравнению.

2. . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси, так как нормальный векторэтой плоскости перпендикулярен оси.

3. . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси, так как нормальный векторэтой плоскости перпендикулярен оси.

4. . Уравнение определяет плоскость, параллельную оси, так как нормальный векторэтой плоскости перпендикулярен оси.

5. . Уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости, так как эта плоскость параллельна осями.

6. . Уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости, так как эта плоскость параллельна осями.

7. . Уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости, так как эта плоскость параллельна осями.

8. . Уравнение определяет координатную плоскость, так как эта плоскость параллельнаи проходит через начало координат.

9. . Уравнение определяет координатную плоскость, так как эта плоскость параллельнаи проходит через начало координат.

10. . Уравнение определяет координатную плоскость, так как эта плоскость параллельнаи проходит через начало координат.

Рассмотрим полное уравнение (3.2) плоскости. В этом уравнении все коэффициенты отличны от нуля, поэтому его можно переписать в виде , или

, (3.6)

где ,, величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях ,исоответственно. Уравнение (3.6) называется уравнением плоскости в отрезках.

3.4. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой

Пусть три точки ,ине лежат на одной прямой. В этом случае векторыине коллинеарны, поэтому точкалежит в одной плоскости с точками,итогда и только тогда, когда векторы,икомпланарны, т. е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю. Используя выражение (2.34) смешанного произведения векторов в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точкик плоскости, проходящей через точки,и:

. (3.7)

Уравнение (3.7) первой степени и является уравнением искомой плоскости, проходящей через три точки ,и, не лежащие на одной прямой.

3.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим произвольную плоскость . Проведем через начало координатпрямую, перпендикулярную плоскости, которую будем называтьнормалью. Точка  пересечение плоскости и нормали. Введем направление от точки к точке, т. е. на прямойвозьмем единичный вектор, направление которого совпадает с направлением отрезка. Если точкии, совпадают, то направление векторавыберем произвольно.

z

M

P

y

O

x

Пусть , углы, которые вектор составляет с осями,исоответственно. Тогда координатами векторабудут направляющие косинусы. Если произвольная точка плоскости , проекция векторана нормальравна, т. е.:

. (3.7)

Учитывая, что ,, получим:

. (3.8)

Из соотношений (3.7) и (3.8) следует нормальное уравнение плоскости:

. (3.9)

Теорема 3. Если точка имеет координатыи плоскостьзадана нормальным уравнением, то расстояние от точки до плоскостиопределяется по формуле

. (3.10)

Доказательство. Пусть  проекция точки на направленную нормаль. Тогда в силу основного алгебраического тождестваили, откуда следует, что. Но,, т. е.. Векторимеет координатыи. Поэтому. Теорема доказана.

Пусть уравнения иявляются общим и нормальным уравнениями одной и той же плоскости. По теореме 2 коэффициенты в этих уравнениях пропорциональны, т. е.,,. Так как, тоили.

Определение. Число , с помощью которого общее уравнение плоскости преобразуется к нормальному, называетсянормирующим множителем.

Знак числа определяется из условия, т. е. оно имеет знак, противоположный знаку свободного члена общего уравнения. Если в уравнении (3.2), то знак нормирующего множителя выбирается произвольно.

П р и м е р 31.Найти расстояние от точкидо плоскости.

Решение. Прежде всего нужно общее уравнение плоскости привести к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель . В общем уравнении плоскости, поэтому, т. е.. Следовательно, нормальное уравнение плоскости имеет вид. Тогда.

Следствие. Если точка имеет координатыи плоскостьзадана общим уравнением, то расстояние от точки до плоскостиопределяется по формуле

. (3.11)

Доказательство. Направляющие косинусы нормали плоскости связаны с коэффициентами общего уравнения плоскости соотношениями ,,, где нормирующий множитель. Учитывая, что , преобразуем формулу (3.10):==. Следствие доказано.