1. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Координаты точек на плоскости. Расстояние между двумя

точками. Деление отрезка в данном отношении

Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.

Точка О называется началом координат; оси Ох и Оу  координатными осями, ось Ох  осью абсцисс, ось Оу  осью ординат. Оси Ох и Оу располагаются в координатной плоскости.

у

М

В

В

х

А

О

А

Пусть М  произвольная точка плоскости, МА и МВ  перпендикуляры, опущенные из точки М на оси Ох и Оу соответственно. Если величины отрезков ОА и ОВ равны А и В, то эти величины называются координатами точки М. Величина А называется абсциссой точки М, а величина В  ординатой. Если точка М имеет координаты А и В, то это символически обозначают М (А, В).

Теорема 1. Для любых двух точек иплоскости расстояниемежду ними выражается формулой

. (1.1)

Д

у

оказательство.

М₂ (х₂, у₂)

х

О

М₁ (х₁, у₁)

К (х₂, у₁)

По теореме Пифагора из треугольника М₁М₂К . Учитывая, что,, получимили. Теорема доказана.

П р и м е р 1. Вычислить площадь правильного треугольника, если известны две его вершины А (6; -2) и В (-1; -4).

Решение. Как известно, площадь правильного треугольника вычисляется по формуле , гдеа  сторона треугольника. В нашем случае , поэтому искомая площадь треугольника(кв. ед.).

П р и м е р 2. Даны две смежные вершины квадрата А (4, 2) и В (5, 4). Вычислить площадь квадрата.

Решение. Площадь S квадрата находится по формуле , где длина стороны квадрата. Поэтому для вычисления площади найдем длину стороны AB: . Таким образом,(кв. ед.).

Теорема 2. Если точка М (х; у) делит отрезок М₁М₂ в отношении , считая от точки М₁, то координаты этой точки определяются по формулам

, , (1.2)

где (х₁; у₁) и (х₂; у₂)  координаты точек М₁ и М₂ соответственно.

Доказательство. Из точек М₁, М, М₂ опустим перпендикуляры на ось Ох. Точки пересечения этих перпендикуляров с осью абсцисс обозначим Р₁, Р и Р₂ соответственно. Пусть М₁К₂ и МК перпендикулярны М₂Р₂, К₁  точка пересечения М₁К₁ и МР.

у

М₂

К

М

М₁

К₁

К₂

х

О

Р₂

Р

Р₁

Треугольники М₁К₁М и МКМ₂ подобны, поэтому . Так как, то,и. Из последнего равенства следует, что. Аналогично находим, что. Теорема доказана.

Следствие. Если точка  середина отрезка, соединяющего точки и, то

, . (1.3)

Доказательство. Точка является серединой отрезка, соединяющего точкии, т. е.. Подставляяв формулы (1.2), получим доказываемые равенства.

П р и м е р 3. Найти центр тяжести (точку пересечения медиан) треугольника, если заданы его вершины А (х₁; у₁), В (х₂; у₂) и С (х₃; у₃).

Решение. Пусть  середина стороны АВ. Тогда ,. В точке пересечения медианы делятся на отрезки в отношении 2:1, отчет ведется от вершины треугольника. Пусть точка пересечения медиан. Тогда и по теореме о делении отрезка в данном отношении имеем:,.

П р и м е р 4. Зная вершины ,ипараллелограмма, найти координаты вершины, противолежащей.

Решение. Пусть в параллелограмме диагоналиипересекаются в точке. По свойству параллелограмма его диагонали в точке пересечения делятся пополам, т. е. точкаявляется одновременно серединой отрезкови. По формуле (1.3),. Так как точкаявляется серединой отрезка, тои. Из последних равенств находим:,. Таким образом, вершинаимеет координаты.