20-12-2012_21-26-59 / геом 36-45

Точки пересечения построенных прямых с прямыми, на которых лежат векторы и , обозначим соответственно и . Эти точки существуют, так как векторы и не коллинеарны. Из параллелограмма следует, что . Вектор коллинеарен вектору , поэтому существует вещественное число такое, что . Аналогично доказывается, что . Таким образом, вектор является линейной комбинацией векторов и и, следовательно, . Это равносильно тому, что векторы , и линейно зависимы. Теорема доказана.

Рассмотрим три компланарных вектора , , . Составим матрицу , столбцами которой являются координаты этих векторов. Столбцы матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. Таким образом, необходимым и достаточным условием компланарности векторов , и является равенство нулю определителя матрицы, столбцами которой являются координаты этих векторов, т. е.

. (2.13)

Теорема 7. Если , ,  произвольные некомпланарные векторы, то любой вектор может быть представлен единственным образом в виде

, (2.14)

где  некоторые числа, т. е. любой вектор может быть разложен по трем некомпланарным векторам.

Доказательство. Пусть векторы , , , заданы своими координатами, т. е. , , , . Тогда . По правилу сложения векторов и умножения вектора на число имеем: . Для выполнения условия (2.14) система уравнений

(2.15)

относительно неизвестных , и должна иметь единственное решение. Определитель системы , так как векторы , , некомпланарные. Следовательно, по теореме Крамера система (2.15) имеет единственное решение, и вектор может быть единственным образом представлен в виде . Теорема доказана.

45