20-12-2012_21-26-59 / геом 36-45

А

Если же , то в силу (2.1) .

А

Пусть задана некоторая ось и . Применяя к каждому из этих векторов формулу (2.2), получим, что , т. е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Определение. Проекции , , вектора на оси , и прямоугольной системы координат называются координатами вектора в этой системе координат.

Если для вектора , , , то символически это записывается в виде

. (2.3)

Теорема 2. Для любых двух точек и координаты вектора определяются по формулам

, , . (2.4)

Доказательство. Проведем через точки и плоскости, перпендикулярные оси , и обозначим точки пересечения оси и построенных плоскостей и .

z

B

A

y

O

x

Точки и имеют на оси координаты и . По определению , но , т. е. . Аналогично доказываются и остальные соотношения. Теорема доказана.

Рассмотрим свойства проекций векторов на ось.

Теорема 3. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т. е.

. (2.5)

Доказательство. Пусть , тогда, приложив вектор к концу вектора , т. е. к точке , можем считать, что . Обозначим через , , проекции точек , и С на ось . По определению проекции вектора на ось имеем: , , , (последнее равенство следует из правила сложения величин вещественных чисел).

B

A

C

l

Таким образом, . Теорема доказана.

Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

. (2.6)

Доказательство. Пусть  угол между осью и вектором , а  угол между осью и вектором . Если , то векторы и направлены одинаково и . Если же , то векторы и имеют противоположное направление и .

Согласно (2.2) при имеем: . Если же , то . При обе части равенства (2.6) обращаются в нуль. Таким образом, при любых вещественных значениях . Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает следствие.

Следствие. Если векторы и заданы своими координатами, т. е. , , то при любых действительных числах и вектор имеет координаты

. (2.7)

Пусть  углы наклона вектора к осям , и соответственно.

Определение. Три числа , и называются направляющими косинусами вектора .

Из определения координат вектора следует, что если , то

, , . (2.8)

Так как является диагональю прямоугольного параллелепипеда со сторонами, которые отсекают на координатных осях величины , и , то

. (2.9)

Из формул (2.8) и (2.9) находятся выражения для направляющих косинусов вектора через его координаты:

, , . (2.10)

Возводя полученные равенства в квадрат и складывая, получим, что , т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Так как вектор однозначно определяется заданием трех его координат, из полученных формул (2.8) следует, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов.

П р и м е р 22. Даны два вектора и . Найти проекции на координатные оси векторов и .

Решение. Проекциями вектора на координатные оси являются его координаты. По формуле (2.7) получим: , .

2.4. Разложение вектора по базису

Пусть , ,  единичные векторы осей координат, т. е. , и каждый из них одинаково направлен с осями , и соответственно. Векторы , , называются базисными векторами. Они взаимно перпендикулярны и задаются координатами следующим образом: , , .

Теорема 5. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису , , , т. е. представлен в виде

, (2.11)

где  действительные числа.

Доказательство. Рассмотрим вектор .

z

M_z

M

О

M_x

M_y

y

В

x

Обозначим , , . Тогда , т. е. . Векторы и коллинеарны, поэтому существует такое число , что . Аналогично можно показать, что и . Таким образом, .

Для доказательства единственности установим, что , , , где  координаты вектора . Если вектор имеет такое же направление, как и вектор , то и . Если же векторы и противоположно направлены, то . С другой стороны, . Из равенства векторов следует, что . Равенства и доказываются аналогично. Теорема доказана.

Определение. Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что существует тривиальная линейная комбинация этих векторов, т. е.

. (2.12)

Теорема 6. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора , и линейно зависимы. Докажем компланарность этих векторов. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа , и , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что . Для определенности будем считать, что . Тогда , или . Если векторы , и приложены к общему началу , то вектор равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и как на смежных сторонах, следовательно, векторы , и лежат в одной плоскости. Это равносильно тому, что и векторы , и лежат в одной плоскости, так как после приведения к общему началу векторы и (соответственно, и ) лежат на одной прямой.

Достаточность. Пусть векторы , и  компланарны. Если какие-либо два вектора из них являются коллинеарными, то они будут линейно зависимыми, следовательно, и все три вектора линейно зависимы.

С

А

В

О

Пусть в тройке векторов , , ни одна пара векторов не является коллинеарной. Тогда в этой тройке отсутствуют и нулевые векторы. Перенесем три компланарных вектора , , на одну плоскость и приведем их к общему началу . Обозначим буквами и концы этих векторов. Через точку проведем прямые, параллельные векторам и .