2. Векторная алгебра

2.1. Декартовы координаты в пространстве

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Обозначим оси,и. Точканазывается началом системы координат, оси,и осями абсцисс, ординат и аппликат. Пусть ,, проекции произвольной точки пространства на оси,исоответственно.

Определение. Декартовыми прямоугольными координатами ,,точкиназываются величины направленных отрезков,и. Декартовы координаты,иточкиназываются соответственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой.

z

M_z

M

M_y

y

О

M_x

x

То, что точка имеет координаты,и, символически обозначают. Таким образом, при выбранной системе координат каждой точкепространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел, и каждой упорядоченной тройке чиселсоответствует единственная точкав пространстве.

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях ,,. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей, называемых октантами.

2.2. Векторы. Линейные операции над векторами

Определение. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкойи конечной точкой.

В

А

Начало вектора называют точкой приложения вектора. Иногда вектор обозначают одной латинской буквой, например .

Определение. Длиной(илимодулем) вектора называется длина отрезка, т. е. записииобозначают длины векторовисоответственно.

Если , то векторназывается единичным. Если начало и конец вектора совпадают, например, то такой вектор называется нулевым и обозначается. Нулевой вектор не имеет определенного направления, и его длина равна нулю. Поэтому при записи нулевой вектор можно отождествлять с вещественным числом 0.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни были вектор и точка, существует единственный векторс началом в точке, равный вектору.

Другими словами, точка приложения данного вектора может быть выбрана произвольно, поэтому геометрические векторы называются свободными.

35