19. Умножение на основе классов вычетов

Пусть m - заданное натуральное число. Рассмотрим все целые числа a в их отношении к m, для чего разделим их на m с остатком:

a = q*m + r q, r — целые, 0<r<m.

Остаток r ограничен при этом m значениями 0, 1, ..., m-1, каждое из которых действительно встречается.

def. Два целых числа а, b называются сравнимыми по mod m, если при делении на m она дают одинаковые остатки. Это обозначается так:

а ≡ b mod m.

def. Натуральное число m называется модулем сравнения.

Определенная таким образом сравнимость, как и положенное в основу ее равенство (остатков), обладает свойствами:

• рефлексивности (а ≡ a mod m),

• симметричности (из a≡b mod m следует b ≡ a mod m),

• транзитивности (из а ≡ b, b=c mod m следует a≡c mod m)

и является, таким образом, так называемым отношением эквивалентности. Поэтому оно приводит к разбиению всех целых чисел на классы чисел, сравнимых между собой по mod m. Эти классы называются классами вычетов по mod m. В соответствии с m возможными остатками существует m классов вычетов по mod m.

имеют место следующие правила:

Из

а= a' mod m,

b=b' mod m

следует

а ± b = a' ± b' mod m,

ab = a’b’ mod m.

Действительно, если

а= а' + gm,

b = b' + hm,

то

а±b = (а' ±b') + (g±h) m,

ab = a'b' + (gbf + hа' + ghm) m,

и при этом вместе с а, b, а’, b’ и g,h будут целыми также и множители при m.

Эти правила можно высказать и так. Если из двух классов вычетов a mod m и b mod m произвольным образом выбирать по одному числу и их между собой складывать, соответственно вычитать или перемножать, то каждый раз будут получаться числа из одного и того же класса, а именно, из a+b mod m, соответственно a-b mod m или ab mod m. Таким образом, каждым двум классам a mod m и b mod m, независимо от выбора в них представителей а, b, можно сопоставить классы, являющиеся их суммой, разностью и произведением, т. е. в области классов вычетов по mod m однозначным образом определяются первые три элементарные операции. Так как определение этих операций сводится к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, то при этом сохраняются законы этих операций, именно

коммутативность и ассоциативность сложения:

a + b=b + a, (a+b) + c = a + (b + c),

возможность и однозначность вычитания:

а + х = b всегда и однозначно разрешимо относительно х,

коммутативность и ассоциативность умножения:

ab = ba, (ab) c = a(bc),

дистрибутивность умножения по отношению к сложению:

(а+b)с = ас+bc.

Абстрактная область, в которой определены операции сложения и умножения и имеют место перечисленные законы, называется кольцом. Относительно определенных выше операций классы вычетов по mod m образуют кольцо, которое так и называется кольцом классов вычетов по mod m.

Кольцо классов вычетов есть абстрактная область с определенными в ней операциями, состоящая лишь из конечного множества, а именно, точно из m элементов. Его нулевым элементом является класс вычетов 0 mod m, а в качестве единичного элемента оно обладает классом вычетов 1 mod m. Существование единичного элемента является условием, которое должно выполняться для всякого кольца, для того чтобы оно было даже областью целостности. Однако второе свойство области целостности, а именно, что произведение двух отличных от нуля элементов снова должно быть отлично от нуля, для кольца классов вычетов выполняется не всегда. Именно, если существует нетривиальное разложение m = m₁m₂, то хотя оба класса вычетов m₁ mod m и m₂ mod m, ввиду того что m₁ ≠ 0 mod m и т₂ ≠ 0 mod m, отличны от нулевого класса, однако их произведение, вследствие того что m₁m₂ = 0 mod m, дает нулевой класс. Поэтому кольцо классов вычетов не всегда является областью целостности.

def. Все числа а из одного класса вычетов по mod m имеют с т один и тот же общий наибольший делитель d = (а, т).

def. Для того, чтобы сравнение

ax =b mod m

было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы d = (a,m) входило также и в b, т. е. чтобы имело место

b = 0 mod d.

Если это выполнено, то сравнение имеет своими решениями точно d классов вычетов х тоd т, которые составляют один класс вычетов х mod m/d.

def. Сравнение ax=0 mod m равносильно сравнению

x = 0 mod m/(a, m).