Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
GOS / Правлено Общематематические и естественные дисциплины.doc
Скачиваний:
148
Добавлен:
09.05.2015
Размер:
4.72 Mб
Скачать

Общематематические и естественнонаучные дисциплины

  1. Распределение Пуассона, биноминальное. Теорема Пуассона.

  2. Случайные величины. Свойства функции распределения.

  3. Распределение дискретных случайных величин.

  4. Формулы полной вероятности. Формула Байеса.

  5. Симплекс-метод.

  6. Матричные игры.

  7. Необходимые условия условного минимума. Теорема Куна-Таккера.

  8. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Построение общего решения однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом вариаций произвольных постоянных и методом неопределённых коэффициентов.

  9. Устойчивость решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. (Определение. Сведение исследования устойчивости ненулевого решения, к исследованию нулевого решения. Лемма Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению).

  10. Краевые задачи. (Альтернатива Фредгольма. Функция Грина и её свойства. Теорема о свойствах собственных значений и собственных функций).

  11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

  12. Формула Тейлора.

  13. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда.

  14. Принцип сжимающих отображений.

  15. Ряды Фурье в Гильбертовом пространстве. Равенство Парсеваля

  16. Сочетания и размещения.

  17. Минимизация ДНФ.

  18. Отношения эквивалентности и порядка.

  19. Пути и циклы в графах.

  20. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Д’Аламбера

  21. Гармонические функции. Постановка краевых задач для уравенния Лапласа и Пуассона.

  22. Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

  23. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

  24. Евклидово пространство. Ортогональность. Процесс ортогонализации.

  25. Жорданова форма линейного оператора.

  26. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

1. Распределение Пуассона, биномиальное. Теорема Пуассона.

При классическом определении вероятность события определяется равенством

Р(А) = m/n,

где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n—общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны. Относительная частота события А определяется равенством

W(A) = m/n

где m—число испытаний, в которых событие А наступило; n—общее число произведенных испытаний.

Случайная величина - числовая переменная (числовая функция), определенная на выборочном пространстве (или приписываемая некоторому выборочному пространству) таким образом, что каждой точке выборочного пространства соответствует одно и только одно значение этой переменной.

Рядом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Ряд распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая—вероятности рi:

Где ,

Ряд распределения случайной величины принято называть также законом распределения этой случайной величины.

Биномиальный закон

Пусть производится последовательно n испытаний , в результате проведения каждого из которых может появиться некоторой событие A. Говорят, что эта последовательность подчиняется закону Бернулли, если:

  1. Все испытания проводятся независимо друг от друга.

  2. В каждом испытании событие A может появиться с одинаковой вероятностью p и не появиться с вероятностью q=p-1.

В последовательности n испытаний, подчиненных схеме Бернулли можно ввести в рассмотрение дискретную случайную величину X—число появлений события A при проведении n испытаний. X принимает значения X=0,1,…,n. Кроме того, вероятность того, что X примет значение k вычисляется по формуле:

где , , ,

Тогда случайная величина X может быть задана рядом распределения:

где , , , ,

Дискретная случайная величина заданная таким рядом распределения называется распределенной по биномиальному закону.

Для этого распределения M(x)=np, D(x)=npq.

Теорема Пуассона: пусть случайная величина распределена по биномиальному закону и итак, что. Тогда для любоговероятность полученияуспехов виспытаниях с вероятностью успехаpn стремится к величине

Доказательство:

Положим , тогда, откуда

При

(по второму замечательному пределу)

, откуда имеем

Ч.т.д.

Дискретная случайная величина X, принимающая бесконечное множество значений 0,1,2, …,n, … называется распределенной по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид:

где , , ,

a называют параметром Пуассона.

Для этого распределения: M(x)= , D(x)=.

Закон Пуассона действует всякий раз, когда имеется много независимых испытаний, а вероятность каждого испытания так мала, что среднее число событий a с данным исходом невелико.

Распределением Пуассона описываются процессы типа количества телефонных вызовов за время t, вероятности аварий, оно же используется в теории страхования.

2. Случайные величины. Свойства функции распределения.

Определение: случайная величина – это некоторая переменная величина, принимающая, в зависимости от случая, те или иные значения с определенной вероятностью (например: вес, рост).

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или счетное.

Определение случайной непрерывной величины: случайная величина наз. непрерывной, если для нее на числовой прямой всегда можно указать открытый интервал (a,b) ( гдеb-a>0), который целиком принадлежит множеству значений этой случайной величины.

Функцией распределения называют функцию определяющую вероятность того, что случайная величинав результате испытания примет значение, меньше, т.е..

Пусть дискретная случайная величина Xзадана рядом распределения

Функция F(x), определенная на интервале (-,+) и задаваемая равенством:, называется функцией распределения этой дискретной случайной величины.

Случайную величину наз. непрерывной, если её ф-я распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая ф-я с непрерывной производной.

Свойства функции распределения:

1) .

2) - неубывающая ф-я, то есть любых действительных чисел:

3) , для любых действительных чисел

4) .

5) ,.

6) В каждой точке ,F(x) непрерывна слева. То есть для любой последовательности, удовлетворяющей условию:,:

7) F(x) на интервалеможет иметь только разрывы первого рода.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины наз. ф-ю.

Свойства:

1) .

2) .

3) .

4) .

Числовые характеристики случайных величин:

Математическое ожидание– величина, характеризующая центр группирования случайной величины. Пусть случайная величинапринимает значениявероятности которых соотв. равнытогдадля непрерывной случайной величины, значения которой принадлежат отрезку [a,b].

Свойства:

1) .

2) .

3) Пусть - независимые случайные величины.

4) .

Дисперсия – это оценка рассеяния значений случайной величины вокруг её среднего значения..

Для непрерывной случайной величины .

Для дискретной случайной величины D[X]=

Свойства:

1) .

2) .

3) -независимые случайные величины, тогда.

3. Распределение случайных дискретных величин

При классическом определении вероятность события определяется равенством

Р(А) = m/n,

где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n—общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны. Относительная частота события А определяется равенством

W(A) = m/n

где m—число испытаний, в которых событие А наступило; n—общее число произведенных испытаний.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая—вероятности рi:

Где

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в виде формулы):

или с помощью функции распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки M1(x1 , p1), …, Мn(xn, pn) (xi—возможные значения X, pi—соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют полигоном ряда распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М (X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

M(X) = np

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X-M(X)]2

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(X)=M(X2)-[M(X)]2.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

Биномиальное распределение

Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину x , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли

, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n,

M() = np, D() = npq,

.

Геометрическое распределение

Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину x - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой

pk = P(= k) = qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … ,

,

Гипергеометрическое распределение

В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:

, k = 0, 1, …, min(n,M), ,

, .

Пуассоновское распределение

Пуассоновское распределение c параметром  имеет случайная величина  , принимающая целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями pk:

, ,M=,D=,> 0 - параметр распределения.