Тема 12. Ряды

Числовой ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующийся ряд. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Признак равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Радиус сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры разложений. Применение рядов в приближенных вычислениях. Ряды Фурье (для функций с периодом 2 и 2l). Разложение четных и нечетных функций, непериодических функций.

Методические рекомендации

Ряды являются обобщением обычных сумм и многочленов на бесконечное число слагаемых. Для изучения рядов используется частный случай функций: функций натурального аргумента – последовательностей – и их пределов при n→∞, понятие о которых дается в курсе дифференциального исчисления. Введение рядов позволяет изучать функции, не являющиеся элементарными, находить интегралы, которые невозможно вычислить методами, описанными в курсе интегрального исчисления. В дальнейшем ряды находят применение в курсе теории вероятностей.

Литература: /2,глава 8 §1-5/, или /4, глава14 §1-7/, или /5(ч.1),глава 3/.

Вопросы для подготовки к экзамену:

1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходи­мости ряда.

2. Теоремы сравнения.

3. Признаки Даламбера и Коши.

4. Интегральный признак сходимости ряда.

5. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

6. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойст ва абсолютно сходящихся рядов.

7. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.

8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9. Теоремы о почленном интегрировании и почленном диф­ференцировании функционального ряда.

10. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенно­го ряда.

11. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.

12. Почленное интегрирование и дифференцирование сте­пенных рядов.

13. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

14. Разложение по степеням бинома .

15. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

16. Разложение по степеням функций .

5. Задания для выполнения контрольных работ

Общее количество контрольных работ и число контрольных работ в семестре, которые должен выполнить студент той или иной специальности, определяется Учебным планом этой специальности. Объем контрольной работы, а также, какие именно задания входят в ту или иную контрольную работу, определяется решением кафедры высшей математики и лектор доводит эти сведения до студентов.

Каждое задание содержит 10 вариантов. Студент выбирает вариант, номер которого совпадает с последней цифрой номера его студенческого билета (зачетной книжки).

При оформлении контрольной работы необходимо записать условие каждого задания и привести его решение в полном объеме со всеми необходимыми теоретическими ссылками и объяснениями. Решение должно в обязательном порядке заканчиваться соответствующим ответом или ответами на все вопросы задачи.

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Задание 1.

1-10. Решить данную систему следующими методами: а) методом Крамера, в) матричным методом.

1.	6.
2.	7.
3.	8.
4.	9.
5.	10.

Задание 2.

11-20. Выясните, образуют ли вектора _{, ,} базис. Если образуют, то разложить вектор по этому базису.

Задание 3.

21-30. Даны координаты вершин пирамиды . Сделать чертеж и найти:

1) Длину ребра

2) Угол между ребрами и

3) Угол между ребром и гранью

4) Площадь грани

5) Объем пирамиды

6) Уравнение прямой

7) Уравнение плоскости

Задание 4.

31-40. Решить задачу

31. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , уравнение высотыи медианы, проведенных из одной вершины.

32. Найти длины высот треугольника, стороны которого имеют уравнения ,,.

33. Найти уравнения прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на расстоянии.

34. Даны две точки и . Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно отрезку . Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

35. Записать общее уравнение прямой, проходящей через две точки и . Найти угловой коэффициент этой прямой.

36. Даны две смежные вершины параллелограмма и Точка– точка пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон.

37. Даны две вершины итреугольникаи точка пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

38. Через точки и проведена прямая. Найти точки пересечения этой прямой с осями координат.

39. На прямую, проходящую через точки и опущен перпендикуляр из точки . Вычислить длину этого перпендикуляра.

40. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и ; найти угловой коэффициент этой прямой.

Задание 5.

41-50. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить ее. Указать координаты вершин и фокусов.

Задание 6.

51-60. Построить кривую в полярной системе координат

Задание 7.

61-70. Дано комплексное число . Записать числов алгебраической и тригонометрической формах.