- •Калининград - 2012
- •2.1 Основная литература
- •2.2 Дополнительная учебная литература
- •2.3 Руководство к решению задач
- •2.4 Справочники
- •2.5 Учебно-методические пособия
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры
- •Тема 2. Векторная алгебра
- •Тема 3. Аналитическая геометрия
- •Тема 4. Комплексные числа
- •Тема 5. Введение в математический анализ
- •Тема 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Приложения дифференциального исчисления
- •Тема 7. Функции нескольких переменных
- •Тема 8. Неопределенный интеграл. Методы вычисления
- •Тема 9. Определенный интеграл. Приложения
- •Тема 10. Дифференциальные уравнения и их системы
- •Тема 11. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
- •Тема 12. Ряды
- •2. Введение в математический анализ
- •8. Методические рекомендации к выполнению контрольных работ
- •Рецензия
Тема 10. Дифференциальные уравнения и их системы
Основные понятия и определения. Дифференциальные уравнения первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, линейные неоднородные дифференциальные уравнения; однородные дифференциальные уравнения; дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным; уравнение Бернулли. Задача Коши. Теорема существования и единственности. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: однородные дифференциальные уравнения; неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Применение дифференциальных уравнений при решении прикладных задач.
Методические рекомендации
Многочисленные задачи естествознания, техники, механики, биологии, химии и других отраслей знаний сводятся к тому, что по заданным свойствам некоторого процесса или явления необходимо найти математическую модель самого процесса в виде формулы, связывающей переменные величины, т.е. в виде функциональной зависимости.
При изучении таких задач используют дифференциальные уравнения. В данной теме рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения.
Литература: /2, глава 9 §1-5/, или /4, глава 15 §1-4/, или /5(ч.2), глава 4/.
Вопросы для подготовки к экзамену:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решения. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородные уравнения. Свойства их решений. Фундаментальная система решений.
Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Теорема о структуре общего решения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Тема 11. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ
Определение двойного интеграла, геометрический и физический смысл. Свойства двойного интеграла. Криволинейные координаты на плоскости. Полярные и эллиптические координаты. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел. Тройной интеграл, геометрический и физический смысл. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Сферические и цилиндрические координаты.Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его свойства. Векторное поле. Поток вектора. Дивергенция векторного поля. Циркуляция. Ротор векторного поля. Соленоидальное поле. Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной форме. Связь между характеристиками векторных полей.
Методические рекомендации
При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных. Эти интегралы приходиться вычислять по двумерным, трехмерным областям, по кривым и поверхностям. Такие интегралы играют важную роль при исследовании скалярных и векторных полей, задаваемых в пространстве действительными и векторными функциями векторного аргумента, составляющими предмет изучения теории поля и векторного анализа.
Примерами векторных полей являются поле скоростей текущей жидкости, поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с угловой скоростью или вокруг данной оси, поле электрической или магнитной напряженности и другие.
Литература: /2, глава 7 §5-10/, или /4, глава 13 §1-14/, или /5(ч.1), главы 1,2/.
Вопросы для подготовки к экзамену:
Задачи, приводящие к двойным интегралам. Двойной интеграл.
Свойства двойного интеграла.
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
Приложения двойного интеграла.
Тройной интеграл.
Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Приложения тройного интеграла.
Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл первого рода.
Криволинейный интеграл второго рода. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
Приложения криволинейных интегралов. Формула Грина.
Формула Стокса. Формула Остроградского.
Дивергенция векторного поля.
Ротор векторного поля.
Поток векторного поля.
Работа векторного поля.
Потенциальные и соленоидальные поля.