Шмидт-Ковалерова.МСС-лекции1-2014

Сходимость – качество измерений, отражающее близость друг к дру- гу результатов измерений, выполняемых в одинаковых условиях. Сходи-

мость измерений отражает влияние случайных погрешностей. Воспроизводимость – это такое качество измерений, которое отража-

ет близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в различ- ных условиях (в различное время, в различных местах, различными мето- дами и средствами) измерений.

2.6.4.Оценка погрешности измерений

2.6.4.1.Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывает- ся непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими ве- личин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение 20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна ±0,01 мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании посто- янных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, ес- ли в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9·103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна ±0,05·103 кг/м3.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электро- измерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвен-

ных измерений функциональной величины y = f (x1, x2 ,..., xm ) используется формула (2.1):

ные производные функции по переменной xi .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объ- ема цилиндра имеет вид:

V = πd 2h .

4

60

Частные производные по переменным d и h будут равны

Таким образом, формула для определения абсолютной систематиче- ской погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2.1) имеет следующий вид:

где ∂d и ∂h приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилинд- ра.

2.6.4.2. Оценка случайной погрешности

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хо- рошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погреш- ностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положе- ний.

•погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

•при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

•чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероят- ность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис. 2.2. Уравнение кривой имеет вид:

где f ( x) – функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки x ; σ – средняя квадра- тичная ошибка.

f ( x)

x

Рис. 2.2. График нормального закона распределения

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается посто-

61

янной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное зна- чение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая ста- тистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического Sx . Величина которой определяется по формуле (2.3):

где xi – результат i-го измерения; x – среднее арифметическое полученных

значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше Sx и тем больше оно при- ближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины µ, ее сред- нее арифметическое значение, полученное в результате измерений x , а случайная абсолютная погрешность x , то результат измерений запишется в виде = x ± x .

Интервал значений от x − x до x + x , в который попадает истинное значение измеряемой величины µ, называется доверительным интервалом. Поскольку x является случайной величиной, то истинное значение попа- дает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется до-

верительной вероятностью, или надежностью измерений.

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда Sx близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение веро- ятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной вели- чины tα,n, называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение довери- тельного интервала x в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического Sx .

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а суще- ственно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл. 2.3). Значение коэффици- ента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

62

Таблица 2.3

Значение коэффициента Стьюдента

Пользуясь данными таблицы, можно:

•определить доверительный интервал, задаваясь определенной веро- ятностью;

•выбрать доверительный интервал и определить доверительную веро- ятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции y = f (x1 , x2 ,..., xm ) вычисляют по фор-

муле (2.5):

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случай- ной погрешностей:

где δх – приборная погрешность; х – случайная погрешность.

В качестве х может быть как непосредственно, так и косвенно изме- ряемая величина.

Окончательный результат измерений рекомендуется представлять в следующем виде:

µ = x + Σ x , α=…, Е=… (2.7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следова- тельно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении х при числе измерений n ≤10 рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если

63

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

2.6.4.3. Методика расчета погрешностей измерений. Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

1.Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу.

2.Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, ес- ли после проверки не подтверждаются.

3.Вычисляется среднее арифметическое x из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины:

xi = xi − x

5. Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных из- мерений ( хi)2

6. Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметиче- ского:

n

∑(xi − x )2

7.Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95.

8.Находится коэффициент Стьюдента tα,n для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см. табл. 2.3)

9.Определяется случайная погрешность x = tα,n Sx .

10.Определяется суммарная погрешность

Σ x = δx2 + x2 .

11. Оценивается относительная погрешность результата измерений:

12.Записывается окончательный результат в виде:

µ= x ± Σ x , с α=… Е=…%.

64

x1 , x2 ,..., xm , можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при раз- личных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений x1 , x2 ,..., xm

вычисляется yi = fi (x1 , x2 ,..., xm ) , а затем определяется среднее арифметиче-

ское из всех значений yi

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании из- вестных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется не-

ления косвенно измеряемой величины y. Систематическая (приборная) по- грешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле (2.10):

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вна- чале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифмети- ческого отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y. Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента tα,n, определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

µ = y ± Σ y , с α=… Е=…%.

2.7. Обеспечение единства измерений

Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ) – комплекс установленных стандартами взаимоувязанных правил, положе- ний, требований и норм, определяющих организацию и методику проведе- ния работ по оценке и обеспечению точности измерений.

65

2.7.1.Система воспроизведения единиц физических величин

ипередачи их размера средствам измерений

2.7.1.1. Понятие о единстве измерений

При проведении измерений необходимо обеспечить их единство. Под единством измерений понимается характеристика качества измерений, за- ключающаяся в том, что их результаты выражаются в узаконенных едини- цах, размеры которых в установленных пределах равны размерам воспроиз- ведённых величин, а погрешности результатов измерений известны с задан- ной доверительной вероятностью и не выходят за установленные пределы.

Понятие «единство измерений» довольно ёмкое. Оно охватывает важ- нейшие задачи метрологии: унификацию единиц физических величин, раз- работку систем воспроизведения величин и передачи их размеров рабочим средствам измерений с установленной точностью и ряд других вопросов. Единство должно обеспечиваться при любой точности, необходимой науке и технике.

Согласно Федерального закона «Об обеспечении единства измерений» единство измерений – состояние измерений, при котором их результаты

выражены в допущенных к применению в РФ единицах величин, а показа- тели точности измерений не выходят за установленные границы.

На достижение и поддержание на должном уровне единства измере- ний направлена деятельность государственных и ведомственных метроло- гических служб, проводимая в соответствии с установленными правилами, требованиями и нормами. На государственном уровне деятельность по обеспечению единства измерений регламентируется стандартами Государ- ственной системы обеспечения единства измерений (ГСИ) или норматив- ными документами органов метрологической службы.

Для обеспечения единства измерений необходима тождественность еди- ниц, в которых проградуированы все существующие средства измерений од- ной и той же величины. Это достигается путём точного воспроизведения и хранения в специализированных учреждениях установленных единиц физи- ческих величин и передачи их размеров применяемым средствам измерений.

Технической основой ГСИ являются:

•система (совокупность) государственных эталонов единиц и шкал физических величин – эталонная база страны;

•система передачи размеров единиц и шкал физических величин от эталонов ко всем СИ с помощью эталонов и других средств поверки;

•система разработки, постановки на производство и выпуска в обра- щение рабочих СИ, обеспечивающих исследования, разработки, определе- ние с требуемой точностью характеристик продукции, технологических процессов и других объектов;

66

•система государственных испытаний СИ (утверждение типа СИ), предназначенных для серийного или массового производства и ввоза из-за границы партиями;

•система государственной и ведомственной метрологической аттеста- ции, поверки и калибровки СИ;

•система стандартных образцов состава и свойств веществ и материа-

лов;

•система стандартных справочных данных о физических константах и свойствах веществ и материалов.

Различают децентрализованное и централизованное воспроизведение

единиц. При децентрализованном единицы воспроизводятся там, где вы- полняются измерения (м2 и др. производные физические величины). При централизованном информация о единицах передаётся с места их центра- лизованного хранения и воспроизведения. Оно осуществляется с помощью специальных технических средств, называемых эталонами. Основные еди- ницы (секунда, метр, килограмм, кельвин, кандела, ампер и моль) воспро- изводятся только централизованно.

2.7.1.2. Эталоны и рабочие средства измерений

Средства измерений (СИ) можно разделить на эталоны и рабочие средства измерений.

Рабочие средства измерений применяют для определения парамет- ров (характеристик) технических устройств, технологических процессов, окружающей среды и т.д.

Воспроизведение, хранение и передача размеров единиц осуществ- ляются с помощью первичных, вторичных и рабочих эталонов. Рабочие эталоны раньше назывались образцовыми средствами измерений. Высшим звеном в метрологической цепи передачи размеров единиц измерений яв- ляются эталоны.

Эталон – это высокоточная мера, предназначенная для воспроизве- дения и хранения единицы физической величины (ФВ) с целью передачи её размера другим средствам измерений.

От эталона единица величины передаётся разрядным эталонам, а от них – рабочим средствам измерений.

Эталон должен обладать тремя существенными признаками: неиз- менностью, воспроизводимостью и сличаемостью.

Неизменность – свойство эталона удерживать неизменным размер воспроизводимости единицы ФВ в течение длительного интервала времени.

Воспроизводимость – возможность воспроизведения единицы ФВ с наименьшей погрешностью для достигнутого уровня развития техники из- мерений.

67

Сличаемость – возможность обеспечения сличения с эталоном дру- гих средств измерений, нижестоящих по поверочной схеме, с наибольшей точностью для достигнутого уровня развития техники измерений.

В определение эталона входят понятия: воспроизведение, хранение,

передача.

Воспроизведение единицы ФВ – совокупность операций по мате- риализации единицы ФВ с помощью государственного первичного этало- на. Различают воспроизведение основных и производных единиц.

Передача размера единиц – приведение размера единицы ФВ, хра- нимой поверяемым СИ, к размеру единицы, воспроизводимой или храни- мой эталоном, осуществляемое при их поверке (калибровке). Размер еди- ницы передается «сверху вниз».

Хранение единиц – совокупность операций, обеспечивающих неиз- менность во времени размера единицы, присущего данному СИ.

По месту в иерархической цепочке эталоны подразделяют на пер- вичные, вторичные и рабочие.

Первичным эталоном называют эталон, который воспроизводит еди- ницу и передает ее размер вторичным эталонам. Первичный эталон выпол- няет задачу воспроизведения единицы величины для ее использования при всех измерениях данной величины. Очевидно, что уровни точности наибо- лее ответственных метрологических и рабочих измерений определяются точностями первичных эталонов. Поэтому при создании первичных этало- нов всегда стремятся обеспечить наиболее высокую точность, которую можно достигнуть на данном этапе развития науки и техники. После вос- произведения единицы ее размер по иерархической цепочке эталонов до- водится до каждого эталона.

Рис. 2.3 иллюстрирует этот процесс. Из рисунка видно, что передача размера единицы идет от более точных эталонов менее точным, путем расширения диапазонов величины и условий измерений. Первичный эта- лон передает размер единицы вторичным эталонам, которые функциони- руют в более широком диапазоне измерений, но являются менее точными. Вторичные эталоны передают размер единицы рабочим эталонам (образ- цовым СИ (далее ОСИ)), а те – менее точным рабочим эталонам (ОСИ).

Количество ступеней передачи определяется требованиями к точности рабочих СИ и поэтому не может быть очень большим. Во многих видах из- мерений увеличение диапазонов величины и условий измерений (частота, температура и т. д.) привело к невозможности обеспечить передачу размера единицы с требуемой точностью от действующего первичного эталона всем СИ этого вида. В этих случаях создают несколько первичных эталонов одной единицы, отличающихся диапазонами измерений или условий измерений.

68

Рис. 2.3. Схема воспроизведения единицы и передачи ее размера эталонам

69