9. Понятие функции нескольких переменных
Пусть каждой упорядоченной паре чисел (x;y) из некоторой областиD(x;y) соответствует определенное числоz E R. Тогдаzназывается функцией двух переменныхxиy;x,y– независимыми переменными;D– областью определения (существования) функции,Е– (множество всех значений функции) – областью ее значений. Символически функция двух переменных записывается в виде равенстваz=f(x;y), в которомfобозначает закон соответствия. Графиком такой функции будет являться поверхность, образованная множеством точек М(x;y;z).
Геометрически область определения функции Dобычно представляет собой некоторую часть плоскостиOxy, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае областьDназывается замкнутой и обозначаютD, во втором – открытой.
►Пример 9.1.Найти область определенияDи область значенийЕфункцииz=ln(y–x2+ 2x).
Решение.Данная функция определена в тех точках плоскостиOxy, в которыхy–x2+ 2x> 0 илиy>x2– 2x, что следует из свойств логарифмической функции. Точки плоскости, для которыхy=x2– 2x, образуют границу областиD. Это уравнение параболы. Построим его в декартовой системе координат (рис. 9.1).
Поскольку парабола не принадлежит области D, то она изображена штриховой линией. ОбластьDявляется открытой. Далее заштриховываем область, принадлежащую неравенствуy>x2– 2x. Аналитически область определения будет иметь вид
D: (- ∞ <x< + ∞;x2– 2x<y< + ∞).
Так как выражение под знаком логарифма может принимать сколь угодно малые и сколь угодно большие положительные значения, то область значений функции
Е: (- ∞ <z< + ∞).◄
Рис. 9.1
Определение функции двух переменных можно обобщить на случай трех и большего числа переменных.
Задание 6
Найти область определения функции.
|
1. |
2. |
|
3.
|
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7. .
|
8.
|
|
9.
|
10. .
|
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25. |
26. |
|
27.
|
28.
|
|
29.
|
30. |
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
*Показать решение с помощью диаграмм Венна.