2124 Министерство транспорта российской федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Государственное образовательное учрежден6ие высшего профессионального образования

САМАРСКий ГОСУДАРСТВЕННый университет

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра высшей математики

О.Е. ЛАВРУСЬ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Методические указания и индивидуальные задания

(для инженерно-технических специальностей)

Самара

2008

УДК 510

Элементы теории множеств: Методические указания и индивидуальные задания (для инженерно-технических специальностей) / О.Е. Лаврусь. – Самара: СамГУПС, 2008. – 43 с.

Утверждено на заседании кафедры 22 октября 2007 г., протокол №2.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.

Методические указания составлены в соответствии с государственным образовательным стандартом и посвящены основным разделам теории множеств. Кроме теоретического материала приведены примеры, а также индивидуальные задания.

Предназначены для студентов технических специальностей.

Составитель: Лаврусь О.Е., к. т. н., доцент

Рецензенты: Гуменникова Ю.В, к. ф.-м. н., доцент СамГАПС

Воскресенская Г.В, к. ф.-м. н., доцент СамГУ

Под редакцией составителя

Подписано в печать 20.05.2008. Формат 60х90 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л.

Тираж 200 экз. Заказ № 78.

© Лаврусь О.Е., 2008

© Самарский государственный университет

путей сообщения, 2008

Оглавление

1. Множества, элементы множества, пустые множества ………...	4
2. Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множес-тво. Дополнение множества …………………………………….	5
3. Операции над множествами ……………………………………..	7
4. Основные законы операций над множествами ………………...	10
5. Мощность множества. Эквивалентность ……………………….	11
Задание 1 …………………………………………………………	13
Задание 2 …………………………………………………………	17
6. Числовые множества. Множества точек на прямой, задавае-мые алгебраическими уравнениями и неравенствами ………...	24
7. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами с двумя переменными ………………………….	27
Задание 3 …………………………………………………………	30
Задание 4 …………………………………………………………	33
8. Функция. Область определения и область значения функции ..	37
Задание 5 …………………………………………………………	37
9. Понятие функции нескольких переменных ……………………	40
Задание 6 …………………………………………………………	42

1. Множества, элементы множества, пустые множества

Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий: оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров.

Например:

• множество дисциплин, изучаемых студентами: {математика, физика, история};

• множество всех цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

• множество решений уравнения x² – 4 = 0: {-2, 2}.

Таким образом, множество – это совокупность объектов любой природы, называемых элементами этого множества.

Элементы каждого множества заключаются в фигурные скобки. Сами множества обозначают прописными латинскими буквами. Например, А = {2, -2} – множество, содержащее данные элементы. Заметим, что множество А совпадает с одним из множеств, приведенных выше, поскольку порядок, в котором записываются элементы множества, значения не имеет.

Элементы множества обозначают строчными латинскими буквами. Запись а  А обозначает, что объект а есть элемент множества А (а принадлежит множеству А). Если объект а не принадлежит множеству А, то пишут а  А.

Термин «множество» употребляется независимо от того, много или мало в этом множестве элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком .

Если множество содержит конечное число элементов, то его можно задать перечислением этих элементов (или пересчитать). Но не всякое конечное множество можно перечислить. Например, множество звезд на небе, множество натуральных чисел и т.д. Тем более нельзя перечислить все элементы бесконечного множества.

В таких случаях множества считаются заданными, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы, и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойство множества.

Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например, запись

А = {x: x – нечетное натуральное число}

описывает множество

А = {1, 3, 5, 7, …}.

Поскольку любое натуральное нечетное число может быть записано в виде 2n – 1, где n – любое натуральное число, то альтернативное определение того же множества задается формулой:

А = {2n – 1 : n – натуральное число}.

В геометрии множество точек, обладающих данным характеристическим свойством, часто называют геометрическим местом точек с данным свойством. Например, окружность – геометрическое место точек плоскости, расстояние которых от данной точки O (центра окружности) равно числу R (радиусу окружности).