4. Основные законы операций над множествами

Некоторые свойства объединения и пересечения множеств очень похожи на свойства хорошо известных алгебраических операций сложения и умножения. Вместе с тем, многие свойства рассмотренных операций над множествами отличаются от свойств алгебраических операций.

Приведем основные свойства.

1. Переместительные законы объединения и пересечения множеств:

А  В = В  А А  В = В  А

2.Сочетательные законы объединения и пересечения множеств:

(АВ)С=А(ВС) (АВ)С=А(ВС)

3. А   = А А   = 

А\ = А А\А = .

Здесь роль пустого множества аналогична роли числа «0» в алгебре. Однако свойства А\ = А и \А =  уже не имеют аналога в алгебре.

4. А  =Е А  =

Е\А =А\Е = 

А  А = А А  А = А

А  Е = Е А  Е = А

5. Распределительный закон пересечения относительно объединения

А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

Распределительный закон пересечения относительно пересечения

А  (В  С) = (А  В)  (А  С)

5. Мощность множества. Эквивалентность

Число элементов в конечном множестве А называют также его мощностью и обозначают |А| (или #А).

Мощность объединения или пересечения нескольких множеств, когда известна мощность каждого из них, находится по так называемым формулам включений и исключений:

|А  В| = |А| + |В| – |А  В|

|А  В  С| = |А| + |В| + |С| – |А  В| – |А  С| – |В  С| +

+ |А  В  С|

О конечных множествах, содержащих одинаковое число элементов, говорят, что они имеют одинаковую мощность. В случае бесконечных множеств понятие числа их элементов не имеет смысла. Однако можно различить множества более богатые и более бедные элементами, то есть имеющие большую или меньшую мощность.

Множества А и В имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда они эквивалентны между собой.

Два множества называют эквивалентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим два множества А и В. Если каждому элементу а множества А некоторым способом поставлен в соответствие один элемент b множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В. Записывается это так: f: А  В или b = f(a). Через f записывают то отображение (правило), по которому это соответствие устанавливается (рис. 5.1).

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие (взаимно однозначное отображение), если каждому элементу а из множества А поставлен в соответствие один элемент из множества В, и при этом соответствии каждый элемент b из множества В соответствует одному и только одному элементу а из множества А (рис. 5.2).

Введем еще одно понятие мощности множества.

Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счетного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек 3-х и, вообще, n-мерного пространства при любых n.

Задание 1

Заданы множества А, В и С. Выполнить указанные операции над множествами. Показать результат с помощью диаграмм Венна.

1.1. А = {1, 3, 5, 6, 7, 12};

В = {2, 4, 5, 7, 12, 13};

С = {1, 4, 6, 7, 13, 15}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  С и А\(В  С).

1.2. А = {5, 6, 8, 12, 16, 20};

В = {1, 2, 6, 12, 14, 16, 21};

С = {3, 5, 7, 10, 13, 16}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  С и А\(В  С).

1.3. А = {2, 4, 7, 9, 11, 15};

В = {3, 8, 9, 11, 13, 15};

С = {1, 2, 4, 7, 9, 11, 13}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\А)  С и В\(А  С).

1.4. А = {1, 2, 3, 4, 7, 9, 10, 11};

В = {3, 4, 5, 7, 11, 13};

С = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 14}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\С)  А и В\(С  А).

1.5. А = {2, 3, 5, 8. 9, 10, 11};

В = {1, 3, 6, 8, 9, 11, 12};

С = {4, 7, 8, 10, 11, 12, 15}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\В)  А и С\(В  А).

1.6. А = {2, 3, 6, 10, 15, 18};

В = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 10};

С = {3, 5, 7, 9, 11, 12}.

Найти: а) С  (А  В); б) С\(В  А) и (С\В)  А.

1.7. А = {5, 6, 8, 9, 12, 14};

В = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12};

С = {2, 4, 7, 8, 10, 11, 14}.

Найти: а) А  (В  С); б) (С\В)  А и С\(В  А).

1.8. А = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15};

В = {3, 4, 7, 8, 10, 11};

С = {5, 6, 8, 9, 11, 12}.

Найти: а) А  (В  С); б) (В\С)  А и В\(С  А).

1.9. А = {1, 3, 5, 7, 9, 11};

В = {2, 4, 6, 8, 10, 12};

С = {3, 6, 9, 12, 13}.

Найти: а) В  (А  С); б) (С\А)  В и С\(А  В).

1.10. А = {6, 7, 8, 9, 10, 11};

В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};

С = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Найти: а) С  (А  В); б) (В\А)  С и В\(А  С).

1.11. А = {2, 3, 5, 7, 12, 13};

В = {1, 2, 5, 6, 7, 11, 12};

С = {3, 5, 7, 8, 9, 11}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\А)  С и В\(А  С).

1.12. А = {3, 4, 6, 8, 9, 14};

В = {2, 4, 5, 7, 8, 14, 16};

С = {3, 5, 8, 12, 14, 15}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\А)  В и С\(А  В).

1.13. А = {5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 15};

В = {4, 6, 7, 8, 10, 11, 13};

С = {3, 5, 6, 8, 11, 13, 17}.

Найти: а) В  (А  С); б) (С\В)  А и С\(В  А).

1.14. А = {2, 5, 7, 9, 10, 12, 14};

В = {1, 2, 3, 7, 10, 11, 12};

С = {4, 5, 6, 8, 11, 13, 14}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  В и А\(В  С).

1.15. А = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16};

В = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13};

С = {2, 4, 6, 9, 11, 13}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\А)  С и В\(А  С).

1.16. А = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13};

В = {1, 4, 6, 7, 8, 10};

С = {2, 5, 6, 8, 10, 11}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\А)  В и С\(А  В).

1.17. А = {3, 7, 9, 12, 14, 15};

В = {2, 4, 7, 10, 12, 16};

С = {5, 6, 7, 11, 12, 15}.

Найти: а) А  (С  В); б) (А\С)  В и А\(С  В).

1.18. А = {1, 3, 4, 6, 9, 10. 13};

В = {2, 3, 5, 8, 11, 13};

С = {4, 6, 8, 11, 12, 15}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\А)  С и В\(А  С).

1.19. А = {3, 4, 5, 9, 11, 14, 18};

В = {2, 4, 6, 8, 10, 13, 18};

С = {1, 3, 5, 7, 10. 12, 14}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\В)  А и С\(В  А).

1.20. А = {5, 7, 9, 11, 12, 13};

В = {2, 3, 5, 7, 11, 13};

С = {4, 5, 6, 7, 9, 11}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  С и А\(В  С).

1.21. А = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 11};

В = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9};

С = {1, 3, 6, 8, 10, 11}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\С)  А и В\(С  А).

1.22. А = {3, 5, 6, 10, 12, 13, 14};

В = {1, 2, 4, 10, 13, 14};

С = {3, 6, 7, 11, 13, 15}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\А)  В и С\(А  В).

1.23. А = {4, 7, 9. 11, 12, 14, 15};

В = {1, 2, 3, 4, 9, 12, 15};

С = {2, 5, 7, 8, 11, 15}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  С и А\(В  С).

1.24. А = {3, 8, 10, 12, 14, 17};

В = {4, 6, 7, 10, 14, 16};

С = {2, 6, 8, 11, 13, 14}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\С)  А и В\(С  А).

1.25. А = {1, 5, 8, 11, 15, 18};

В = {2, 4, 6, 8, 12, 16, 18};

С = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\А)  В и С\(А  В).

1.26. А = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 11};

В = {2, 4, 6, 8, 10, 12};

С = {3, 5, 7, 9, 11, 12}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  С и А\(В  С).

1.27. А = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16};

В = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13};

С = {1, 3, 5, 7, 10, 12, 14}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\В)  А и С\(В  А).

1.28. А = {3, 6, 10, 12, 13, 15};

В = {2, 5, 6, 8, 10, 11, 12};

С = {4, 5, 7, 8, 11, 13, 15}.

Найти: а) В  (А  С); б) (В\А)  С и В\(А  С).

1.29. А = {1, 3, 7, 8, 9, 11, 12};

В = {2, 3, 4, 5, 9, 10, 12};

С = {3, 5, 7, 8, 10, 12, 13}.

Найти: а) А  (В  С); б) (А\В)  С и А\(В  С).

1.30. А = {4, 6, 8, 10, 11, 12};

В = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10};

С = {1, 3, 6, 8, 11, 12, 14}.

Найти: а) С  (А  В); б) (С\А)  В и С\(А  В).