29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

в первые три года - 12% годовых, в последующие два года - 16% годовых и в оставшийся год - 18% годовых. Найдите наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же наращенную сумму?

2.2.33.Банк выдал кредит сроком на 1 квартал под 8% за квартал, удержав проценты при выдаче кредита. Определите доходность такой финансовой сделки для банка в виде годовой эффективной процентной ставки и поясните, как такого рода сделку можно соотнести с начислением сложных процентов по учетной ставке.

2.2.34.Согласно финансовому соглашению банк начисляет ежеквартально проценты на вклады по сложной учетной ставке 20% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 3 месяца; б) на 9 месяцев; в) на год.

2.2.35.Вексель учитывается в банке за 2 года до его погашения по сложной учетной ставке 32% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки, если банк производит поквартальное дисконтирование и удерживает комиссионные в размере 3% от суммы, выплачиваемой за вексель.

2.2.36.Вексель учитывается в банке за 2 года 6 месяцев до срока погашения по сложной учетной ставке 28% годовых, причем дисконтирование проводилось поквартально. При взимании комиссионных с суммы, выплачиваемой за вексель, доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки получилась 29%. Сколько процентов составили комиссионные от суммы, выплачиваемой за вексель?

2.2.37.Вексель учитывается в банке по сложной учетной ставке 30% годовых, при этом дисконтирование производится помесячно и банком взимаются комиссионные в размере 1,5% от суммы, выплачиваемой за вексель. За какое время (в днях) до срока погашения должен учитываться вексель, чтобы доходность такой сделки для банка в виде годовой эффективной учетной ставки составила 38%? Полагать в году 365 дней.

2.2.38.Некоторая сумма в долларах США обменивается на рубли, после чего помещается на рублевый депозит на 2 года 9 месяцев под учетную ставку 25% годовых с ежегодным начислением сложных процентов. Полученная наращенная сумма опять конвертируется в доллары США. Определите доходность такой

201

финансовой операции в виде годовой эффективной учетной ставки, если курс покупки долларов на начало срока - 18 руб. 42 коп., а курс продажи через 2 года 9 месяцев - 22 руб. 30 коп. и начисление процентов осуществлялось: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме.

2.2.39.На валютном (долларовом) депозите наращение осуществляется ежеквартально сложными процентами по годовой процентной ставке 24%. На рублевом депозите наращение осуществляется ежеквартально сложными процентами по годовой учетной ставке 24%. Курс покупки составляет 20 руб. 15 коп. за

1долл. США. Какой должен быть курс продажи валюты, чтобы доходность в виде годовой эффективной процентной ставки за два года финансовой операции "конвертирование - наращение - конвертирование" была больше доходности при непосредственном инвестировании валютных средств?

2.2.40.На вклад 40 тыс. руб. по истечении 3 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 88,891 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты, если налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

2.2.41.На вклад 50 тыс. руб. в течение 4 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной учетной ставке 28% исходя из полугодовой схемы начисления. После уплаты налога на все начисленные проценты величина итоговой наращенной суммы составила 151,979 тыс. руб. Определите ставку налога на проценты, если налог на проценты уплачивался каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы.

2.2.42.На какой срок необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под годовую номинальную процентную ставку 30% с однократным начислением в конце срока сложных процентов исходя из ежемесячной схемы начисления, чтобы наращенная сумма была в 2,4 раза больше первоначальной суммы с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 15% и налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока? Как изменится ответ при осуществлении наращения по сложной учетной ставке 30% годовых?

2.2.43.Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок службы оборудования - 10 лет, после чего фирма намеревается реализовать изношенное оборудование за 100 тыс. руб. Используя способ фиксированного процента, составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам.

202

2.3. Непрерывная ставка

Основные положения

•При анализе сложных финансовых проблем в банковской практике нередко возникает задача начисления сложных процентов за очень малые промежутки времени. В частности, такая задача особенно актуальна, когда финансовые операции осуществляются и регистрируются с помощью электронных методов.

Втакого рода ситуациях говорят о непрерывном начислении процентов и их непрерывной капитализации.

•Предел годовой номинальной процентной ставки, когда число начислений сложных процентов стремится к бесконечности, а эффективная ставка постоянна, называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов. Силу роста также еще называют непрерывной ставкой и, чтобы отличать ее от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение - б.

•При непрерывном начислении процентов исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления, так как в такой ситуации начало и конец периода перестают отличаться.

•При использовании непрерывной ставки будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, можно оценивать с позиции любого момента времени.

Вопросы для обсуэадения

1.Как пояснить переход к непрерывным процентам?

2.Чем отличаются дискретные проценты от непрерывных?

3.Какая постоянная используется при непрерывном начислении процентов?

4.Какая ставка называется силой роста?

5.Чему равен множитель наращения при непрерывном начислении процентов?

6.Можно ли сказать, что сила роста показывает скорость относительного роста накапливаемой суммы?

7.Какое существует соотношение между силой роста и годовой процентной ставкой?

203

8.Какое существует соотношение между силой роста и годовой учетной ставкой?

9.Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую процентную ставку.

10.Укажите приближенные соотношения, связывающие силу роста и годовую учетную ставку.

11.В каких случаях сила роста практически совпадает с процентной и учетной годовыми ставками?

12.Почему исчезает различие между антисипативным и декурсивным способами начисления процентов, если использовать непрерывное начисление?

13.Что такое сила учета и как она связана с силой роста?

14.В каких случаях целесообразно использовать непрерывное начисление процентов?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.3.1. Рассчитайте накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год (равный 360 дням), если исходная сумма Р = 1000 руб. и номинальная годовая процентная ставка r ( w ) = 30%. Рассмотрите случаи, когда проценты начисляются один раз, по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно, ежеминутно, ежесекундно и непрерывно. Для каждого случая определите эффективную годовую процентную ставку.

Решение. Результаты, полученные для всех вариантов, приведем в виде таблицы, причем в четвертом столбце вычислены разности между наращениями с данным числом начисления процентов и базовым, а в пятом столбце указаны разности между наращенными суммами двух соседних строчек.

204

Продолжение

Накопленную сумму и эффективную процентную ставку во всех случаях, кроме последнего, находим соответственно по формулам (58) и (63). При непрерывном начислении процентов получим:

Fx =РеЬ «1000-в03 = 1349,86 руб.,

rtf=eb-1 = 134986 -1 - 034986.

Как и следовало ожидать, приведенные расчеты подтверждают наличие прямой зависимости между частотой начисления процентов и накопленной суммой; пятый столбец таблицы показывает, что с увеличением частоты начисления темп прироста накопленной суммы уменьшается. Если считать с точностью до копеек (что и имеет смысл при практических расчетах и как сделано при заполнении таблицы), то замечаем, что начисление сложных процентов каждую минуту (или за меньший период) доставляет ту же сумму, что и непрерывное начисление процентов. Даже начисление каждый час дает наращенную сумму лишь на 1 копейку меньше.

Эффективная процентная ставка с ростом частоты начисления сложных процентов растет и в пределе достигает величины 34,986%.

Пример 2.3.2. На сумму 6 тыс. руб. в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму, если сила роста равна: а) 7%; б) 27%.

Решение, а) Полагая Р = 6 тыс. руб., л = 5, б = 0,07, по формуле (78) получим:

Fs = бе0'07 5 = 8,514 тыс. руб.

205

Если в данном случае применить формулу (55), т.е. осуществлять начисление обычных сложных процентов по процентной ставке г = 0,07, то получим сумму:

Fs = 6(1 + 0,07)5 =8,415 тыс. руб.,

которая отличается от предыдущей всего на 99 руб., хотя наращение происходит достаточно долго - 5 лет. Такой результат объясняется небольшой величиной ставки. Ясно, что при более частом начислении сложных процентов эта разница будет еще меньше.

б) Так как в этом случае 6 = 0,27, то

Fs = бе0215 = 23Д45 тыс. руб.

Если же воспользоваться формулой (55) при г = 0,27, то получим:

F5 = 6(1 + 0.27)5 = 19,823 тыс. руб.,

т.е. имеем значительную разницу (3,322 тыс. руб.) между найденными суммами.

Пример 2.3.3. Какую сумму необходимо поместить на банковский депозит, чтобы при непрерывном начислении процентов по ставке 25% получить 30 тыс. руб.,через: а) 4 года; б) 9 лет?

Решение, а) Для определения искомой суммы воспользуемся формулой (78). Полагая п » 4, Fn = F4 = 30 тыс. руб., б = 0,25, из этой формулы получим:

Р = ЪОе~0-25'4 = 30*"1 = 11,036 тыс. руб. б) Поскольку л = 9, то

Р =» 30*"0*25 9 - ЗОе^5 = ЗД62 тыс. руб.

Пример 2.3.4. За какой срок сумма 10 тыс. руб. достигнет величины 25 тыс. руб. при непрерывном начислении процентов и силе роста 28% за год?

Решение. Полагая в формуле (79) Fn = 25 тыс. руб., Р = 10 тыс. руб., 6 = 0,28, находим:

In—

п = ^ = ЗД72года.

206

Если бы начислялись сложные проценты, например, по годовой номинальной процентной ставке № = 0,28, то по формуле (60):

1 2 5

In—

№3,497 года,

т.е., естественно, получили больший срок, чем при непрерывном начислении процентов.

Пример 2.3.5. Банк выдает ссуду на 7 лет под сложную процентную ставку 36% годовых с начислением процентов каждые полгода. Какую непрерывную ставку должен установить банк, чтобы за 7 лет получить тот же доход?

Решение. Пусть Р - величина ссуды, тогда при использовании процентной ставки банк получит через 7 лет (согласно формуле (58)):

\2-7

F 7 = j F ^ l + 0 | 6 j " = 1 Д 8 1 4 р^

Теперь для определения силы роста можно воспользоваться формулой (80):

6 д 1п1Д814 ^21п1Д8-0,3310- 33,10%.

Конечно, этот пример можно было решить, и воспользовавшись сразу формулой (97), связывающей эквивалентные силу роста и сложную процентную ставку.

Пример 2.3.6. Банк предоставил кредит на 4 года под непрерывную ставку 30% за год. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки.

Решение, а) Если Р - величина кредита, то через п = 4 года наращенная сумма, которую заемщик должен будет возвратить, составит:

ft-ft^.ftU,

207

Поэтому доходность в виде простой годовой процентной ставки составит (по формуле (23)):

Обратим внимание, что в данном случае по существу была применена формула (93).

б) При определении rt j воспользуемся формулой (64):

rmf =1 -1 = е0'3 -1 = 0,3499 = 34,99%.

Заметим, что годовая эффективная процентная ставка rt j и сила роста б связаны соотношением: rtf = в6 ~1, которым мы

фактически и воспользовались при решении примера.

Пример 2.3.7. Предприниматель получил в банке ссуду на 6 лет по непрерывной ставке 25% за год, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины ссуды. Определите доходность такой финансовой операции для банка в виде: а) простой годовой процентной ставки; б) годовой эффективной процентной ставки, если непрерывные проценты начисляются на исходную величину ссуды.

Решение, а) Обозначим через Р величину ссуды, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,02Р и господину N будет выдана сумма Р - 0,02Р - 0,98Р. Через 6 лет господин N должен будет вернуть (согласно формуле (78)) сумму, равную

Ре0*25 6 = ре1*5л Банк вычисляет доходность сделки исходя из условия: наращенная по простой процентной ставке г на реально выданную ссуду сумма 0,98Р(1 + 6г) должна быть равна возвра-

с'.5 -098 г = ^ = 0,5955 = 59,55%.

0,98-6 По существу воспользовались формулой (23).

208

б) В этом случае наращенная по эффективной процентной

Пример 2.3.8. На вклад 16 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Определите наращенную сумму за 6 лет, если интенсивность наращения изменяется следующим образом: в первые два года она равна 20%, в следующие три года - 24% и в последний год - 26%. Какую постоянную силу роста необходимо взять, чтобы за 6 лет получить такую же наращенную сумму?

Решение. Пусть Р = 16 тыс. руб. По формуле (78) за первые два года при силе роста 6 = 0,2 наращенная сумма составит:

Далее наращение суммы F2 непрерывными процентами за три года при 8 = 0,24 обеспечит величину:

F2+3 = Fs = F2eW'3 = 16*0'4*0'72 = \6eV1 тыс. руб. И наконец, за последний год получим при 6 - 0,26:

Такую же наращенную сумму за 6 лет можно получить, если в качестве постоянной силы роста взять

5 = М® = 0ДЗ.

6

Заметим, что 5 представляет собой взвешенную сумму исходных непрерывных ставок, где весом для каждой ставки является доля времени (от общего срока 6 лет), в течение которого использовалась данная ставка. Действительно:

S=--0;Z + -.0,24 + i . 0,25 = 0,23.

6 6 6

Пример 2.3.9. Господин N намеревается обменять имеющиеся у него немецкие марки и поместить полученную сумму на рублевом депозите сроком на 2 года под ставку 21% годовых с непрерывным начислением процентов, после чего наращенную сумму опять конвертировать в немецкие марки. При каком ожидаемом курсе продажи не имеет смысла такая финансовая операция, если курс покупки немецких марок на начало срока составляет 10 руб. 64 коп. и на валютном депозите денежную сумму можно поместить под процентную ставку 18% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов?

Решение. Обозначим через Р имеющуюся первоначальную сумму немецких марок, через К - ожидаемый курс продажи немецких марок через 2 года, при котором нет смысла в двойном конвертировании. Неизвестную величину К находим, приравнивая наращенные суммы на валютном и на рублевом депозитах с учетом конвертации:

, 0J8j4 2 f • 10,64-е0,212 ^

16д937 отсюда К = * = 1139 руб. Если ожидаемый курс продажи

1,4221

будет менее 11 руб. 39 коп., то финансовая операция, связанная с двойной конвертацией, целесообразна.

Пример 2.3.10. Сумма 15 тыс. руб. была помещена в банк на некоторый срок, по истечении которого на эту сумму были начислены непрерывные проценты с силой роста 30% за год. После уплаты налога на проценты величина наращенной суммы составила 36,2 тыс. руб. Определите срок, за который было осуществлено наращение, если ставка налога на проценты равна 12% и налог на все полученные проценты был выплачен один раз в конце срока.

Решение. Воспользуемся соотношением (101), разрешая его относительно п:

л >

In 1

1 -Q Р ^ \ J

In а

210