Гусев_сопротивление_материалов

Здесь - нормальное напряжение; P - внешняя сила; yk и zk - координаты точки приложения силы; A, Iy и Iz - площадь и осевые моменты инерции площади; y и z - главные центральные оси (координаты).

Уравнение нейтральной линии ( = 0)

ЗАДАНИЕ 11

Стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 11.1, нагружен сжимающей силой P, приложенной в точке К.

Требуется:

*Определить положение нейтральной линии и построить эпюру нор-мальных напряжений.

*Вычислить значения наибольших растягивающих и сжимающих напряжений (результаты представить в алгебраической форме).

*Из условия прочности по нормальным напряжениям вычислить размеры поперечного сечения.

Данные взять из табл. 11.

Рис. 11.1

Пример 11

Дано: Р = 40 кН, [ ]р = 30 МПа, [ ]с = 100 МПа.

Определить: b = ?

Решение: 1. Определяем геометрические характеристики площади поперечного сечения. Для этого выбираем вспомогательную систему осей координат yz/ (где y – ось симметрии). Разбиваем сечение на три прямоугольника: I, II и III на рис. 11.2. Координата центра тяжести площади

Здесь S zi - статический момент площади прямоугольника относительно

оси z/ (I = I, II, III); yi – координата центра тяжести прямоугольника

(i=1,2,3).

Здесь a1 = y1 – yc; a2 = yc – y2; a3 = yc – y3 – расстояния между осями координат. Используются преобразования параллельного переноса.

Координаты точки приложения силы Р в главных центральных осях:

Откуда определяем координаты точки пересечения нейтральной линии с осями координат: z = 0 y* = -2,44b; при y =0 z* = 0,73b.

4. Находим наибольшие сжимающие напряжения в точке К (yК =

4,45b; zК = -2b)

и наибольшие растягивающие напряжения в точке М (yМ = -4,55b; zМ =

3b)

Принимаем b = 1,82 см.

55

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ

Условие прочности для упрощенного плоского напряженного состояния в соответствии с теорией наибольших касательных напряжений:

экв 1 3 2 4 2 .

Здесь 1 и 3 – главные напряжения; и - расчетные нормальное и касательное напряжения; [ζ] – допускаемое напряжение.

Задание 12

На вал силовой зубчатой передачи (рис. 12.1) насажены два зубчатых колеса, диаметры делительных окружностей которых равны D1 и D2. Окружные составляющие усилий зацепления P1 и P2 расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Используя теорию наибольших касательных напряжений, определить диаметр вала d.

Принять: [ ] = 100 МПа. Данные взять из табл. 12.

56

Пример 12

Дано: Р = 3 кН; D1 = 0,3 м; D2 = 0,2 м; а = 0,4 м; [ζ] = 100 МПа.

Определить: d = ?

2. Составляем силовую схему. Находим реакции опор. Строим эпюры изгибающих Мy, Мz и крутящих Мкр моментов (рис. 12.3). Из эпюр определяем опасное сечение – это сечение В.

Рис. 12.3

3. Находим напряжения в наиболее напряженной точке (точке А) опасного сечения

Рис. 12.4

5. На основе теории наибольших касательных напряжений записываем условие прочности

Откуда

ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ

Интеграл Мора

Здесь δ – обобщенное перемещение (линейное или угловое); lk - длина k-го участка; n – число участков; Mz(xk) – изгибающий момент на k-м

участке от заданных внешних сил; M z ( xk ) – изгибающий момент на

k-м участке от обобщенной единичной силы, соответствующей обобщенному перемещению δ. При расчете перемещений при изгибе поперечными силами обычно пренебрегают.

59

Вычисление интегралов Мора по правилу Верещагина выполняется по формуле

под центром тяжести площади грузовой; EIz - жесткость поперечного сечения балки на изгиб для k-ого участка.

Задание 13

Для балок, схемы которых показаны на рис. 13.1, определить прогиб сечения A, угол поворота сечения B и показать форму оси упругой (изогнутой) линии. Для расчета воспользоваться интегралами Мора. Вычисление интегралов выполнить аналитически и/или графоаналитически (по правилу Верещагина).

Принять: P=qa, M=qa2, EJz=const.

Данные взять из табл. 13.

60