Гусев_сопротивление_материалов

определяются из граничных (или краевых) условий. Граничные условия отражают особенности закрепления балки: V(x1 = 0) = 0 и V(x2 = 4a) = 0 и сопряжения (непрерывности) участков 1 и 2: V(x1=6а) = V(x2 = 0) и

V'(x1 = 6a) = V'(x2 = 0).

Подставляя граничные условия в уравнения (8.6), после преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений вида:

Постоянные интегрирования (8.8) подставляем в уравнения (8.6). В

Здесь V0 и Θ0 – постоянные интегрирования, которые представляют прогиб и угол поворота в начале координат, - начальные параметры. Они определяются из условий закрепления балки (граничных условий).

Очевидно, при х = 0 и х = 10а V = 0. Откуда следует

Величина Θ0 получается отрицательной. Следовательно, сечение х = 0 поворачивается по часовой стрелке.

Вычисляем прогиб и угол поворота сечения А. Для этого начальные параметры (8.14) и координата х = 6а подставляются в уравнения (8.13):

Результаты решений, полученные двумя методами, совпадают друг с другом. На рис. 8.2 пунктиром изображена форма оси изогнутой балки.

КОСОЙ ИЗГИБ

В этом случае плоскость действия изгибающего момента не совпадает с главными центральными осями поперечного сечения.

Косой изгиб представляется как суперпозиция двух прямых изгибов в двух главных плоскостях

Здесь - нормальное напряжение, My и Mz – изгибающие моменты, Iy и Iz – осевые моменты инерции площади поперечного сечения, y и z – главные центральные оси.

Уравнение нейтральной линии

43

Задание 9

Для балки, схема которой изображена на рис. 9.1, построить эпюры изгибающих моментов My и Mz, и найти опасное(ые) сечение(я). В опасном(ых) сечении(ях) определить положение нейтральной линии. Из условия прочности по нормальным напряжениям рассчитать допускаемую нагрузку.

Материал - сталь 45: предел текучести т=370, коэффициент запаса nт=2. Принять: P1=P и P2=nP.

Данные взять из табл. 9.

Пример 9

Дано: l = 1м, b = 2 см, Т = 370 МПа, nT = 2, = 60о.

Определить: Р = ? Решение:

1. Раскладываем внешние силы Р1 и Р2 на составляющие по направлению главных центральных осей y и z (осей симметрии сечения на рис. 9.2):

2. Строим эпюры изгибающих моментов в главных плоскостях xy и xz (рис. 9.3). Эпюры My и Mz строятся на сжатых слоях балки.

44

3. Находим осевые моменты инерции площади поперечного сечения:

Здесь I – площадь стенки (4b*b), II – площадь полки (b*4b).

Здесь I – площадь описанного прямоугольника (4b*6b), II – площадь выреза (1,5b*4b).

4. Записываем уравнения нормальных напряжений как функций координат y и z:

Сечение В

Сечение С

Моменты My и Mz считаются положительными, если в точках с координатами y и z (первой четверти на рис.9.2), они вызывают положительные, растягивающие напряжения.

5. Принимая = 0, составляем уравнения нейтральных линий:

Сечение В

Сечение С

Рис. 9.4

6. Определяем наибольшие значения нормальных напряжений. Для этого в уравнения для напряжений подставляем координаты наиболее удаленных от нейтральных осей точек поперечного сечения:

Сечение В

Сечение С

ИЗГИБ С РАСТЯЖЕНИЕМ-СЖАТИЕМ

Здесь N, My и Mz - продольная сила и изгибающие моменты; A, Iy и Iz - площадь и осевые моменты инерции площади поперечного сечения; y и z – координаты (главные центральные оси).

Нейтральная линия ( = 0) определяется отрезками, отсекаемыми по осям координат:

Задача 10

Для стержня, схема которого изображена на рис. 10.1, построить эпюры продольных сил N и изгибающих моментов My и Mz. Изобразить опасное сечение и показать нейтральную линию. Из условия прочности по нормальным напряжениям найти размеры поперечного сечения.

Материал - древесина: предел прочности вр=80 МПа, вс=40 МПа, коэффициент запаса nв=2. Принять - P1=P, P2=nP.

Данные взять из табл. 10.

Пример 10

Дано: Р = 10 кН, вр = 80 МПа, вс = 40 МПа, nв = 2.

Определить: а = ? Решение:

1. Составляем расчетную схему. Для этого силу 6Р приводим к центру тяжести поперечного сечения. В результате

преобразований параллельного Рис. 10.2 переноса появляются пары сил с

моментами mz = 6Pa и my = 6Pа/2 = 3Ра. Строим эпюры изгибающих моментов и продольных сил (рис. 10.3).

2. Определяем геометрические характеристики площади попереч-

ного сечения:

A = 2a2,

3. Записываем уравнение напряжений в опасном сечении

Рис. 10.3 (сечении В). Считая N = 6P, My = - 9Pa, Mz = 14Pa, имеем

Сила N считается положительной, если она соответствует растяжению; моменты My и Mz, - если в точках сечения с координатами y и z (первой четверти), они вызывают положительные, растягивающие напряжения.

50

Рис. 10.4