Гусев_сопротивление_материалов

Разбиваем стержень на участки: ВС (участок 1), СD (участок 2) и DO (участок 3). Участки нумеруем арабскими цифрами в кружочках. Границами участков считаем сечения, в которых приложены сосредоточенные внешние силы, включая реакции опор.

Для вычисления продольных сил используем метод сечений. Мысленно разрезаем каждый участок стержня на части (левую и правую). Рассматриваем равновесие части стержня по одну сторону от сечения. Сила N определяет действие отброшенной части на оставшуюся. Из уравне-

ний равновесия определяем внутренние силы.

Участок 1 (0 ≤ x1 ≤ 2a) – правая часть отброшена

ΣX = 0: R + N1 = 0.

Откуда N1 = -R = -4P.

Участок 2 (0 ≤ x2 ≤ a) – правая часть отброшена

ΣX = 0: R – 2P + N2 = 0. Откуда N2 = -R +2P = -2P.

Участок 3 (0 ≤ x3 ≤ 2a) – левая часть отброшена

ΣX = 0: -N3 + Р = 0.

Откуда N3 = P.

Правило знаков: Вектор продольной силы N направляется от сечения. В этом случае знак "плюс" определяет растяжение, "минус" – сжатие.

11

По результатам вычислений в масштабе строим график, или эпюру продольных сил N(x) (рис.2.2). Из эпюры N(x) следует: участки 1 и 2 работают на сжатие, участок 3 – на растяжение.

2. Определяем нормальные напряжения как отношения продольных сил к площади поперечного сечения:

Эпюра напряжений ζ(х) построена на рис. 2.2.

3. Вычисляем коэффициент запаса прочности

Значение |ζ|max = 4P/3A взято из эпюры на рис. 2.2.

4. Находим перемещение свободного конца стержня

Знак "минус" указывает на то, что свободный конец стержня перемещается влево на величину δ0 = 3 мкм (стержень укорачивается).

5. Вычисляем потенциальную энергию, накопленную в результате

12

Задание 3

К абсолютно жесткому элементу AB, закрепленному при помощи шарнирно неподвижной опоры и двух упругих стержней 1 и 2, приложена внешняя нагрузка P (рис. 3.1). Требуется:

1.Выразить продольные силы в стержнях N1 и N2 через внешнюю нагрузку P, считая жесткости поперечных сечений стержней на растяжение - сжатие: 1 - EA, 2 - nEA, где E - модуль упругости, A – площадь поперечного сечения.

2.Найти допускаемое значение нагрузки P из расчета на прочность по допускаемым напряжениям:

T ,

max nT

где т=240 МПа - предел текучести; nт=1,5 - коэффициент запаса.

3. Определить допускаемое значение нагрузки P из расчета на прочность по предельной нагрузке

P Pп , nT

где Pп - предельная нагрузка, определяется на основании схемы предельного равновесия.

4. Сопоставить значения внешней нагрузки P, рассчитанной двумя методами (п.2 и п.3).

Данные взять из табл. 3.

Пример 3

Дано: а = 0,1 м; А = 2·10-4 м2; ζТ = 240 МПа; nT = 1,5.

Определить Р=? Решение:

Расчёт на прочность по напряжениям.

1. Составляем силовую схему (рис.3.3). На схеме видим, что число неизвестных N1, N2, xD, yD превышает число независимых уравнений равновесия (три уравнения для произвольной плоской системы сил) на единицу. Следовательно, система один раз статически неопределима.

Записываем уравнение равновесия

ΣМD =0: N1·cos300·6a + N2·cos450·2a - P·2a = 0.

Уравнение (3.4) носит название уравнения совместности перемещений.

Учитывая, что длины стержней

l1 = а/cos300, l2 = а/cos450,

записываем формулы закона Гука

Формулы (3.5) подставляем в уравнение (3.4), в результате получим

Равенство (3.7) представляет уравнение совместности перемещений, записанное в усилиях.

3. Из решения системы алгебраических уравнений (3.1) и (3.7)

Оказывается, что наиболее напряженным элементом получается стержень 1. Из условия прочности этого стержня

ниваем пределу текучести. Используя уравнение равновесия

находим предельную нагрузку

Допускаемая нагрузка

5. Сопоставляем значения внешней нагрузки, рассчитанной двумя методами: по допускаемым напряжениям (3.11) и по предельной нагрузке (3.13)

P 128 1,37. P 93,3

Делаем вывод, расчет статически неопределимой системы по предельной нагрузке позволяет более полно реализовать прочностные качества конструкции.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

(одно из главных напряжений равно нулю)

и0 21E 12 22 32 2 1 2 2 3 1 3 . .

Здесь ζ1, ζ2, ζ3 (ζmax и ζmin) – главные напряжения (ζ1 ≥ ζ2, ≥ ζ3); αmax – угол, определяющий положение главных площадок (отсчитывается от

оси х, знак "плюс" соответствует вращению против часовой стрелки); ε1, ε2, ε3 – главные деформации; Θ – относительное изменение объема; и0 – удельная потенциальная энергия упругой деформации; Е и μ – модуль упругости и коэффициент Пуассона.

Правило знаков: Положительное нормальное напряжение ζ соответствует растяжению, отрицательное – сжатию. Касательное напряжение ηxy считается положительным, если на площадке с нормалью х вектор ηxy направлен по оси y.

Задание 4

На рис. 4.2 изображен бесконечно малый элемент напряженного тела. На гранях элемента действуют нормальные и касательные напря-

жения: x, y и xy. Определить:

1.Величину и направление главных напряжений.

2.Значение максимального касательного напряжения.

3.Главные деформации и относительное изменение объема.

4.Удельную потенциальную энергию деформации.

Материал - сталь: модуль упругости E=2 105 МПа, коэффициент Пуассона =0,3.

Данные взять из табл. 4.

19

Пример 4

Дано: ζх =-60 МПа, ζy = 40 МПа, ηxy = ηyx =-20 МПа, Е = 200 ГПа,

μ = 0,3

Определить: 1) ζ1, ζ2, ζ3 = ?

2)ηmax = ?

3)ε1, ε2, ε3, Θ = ?

4)и0 = ?

Решение:

Рис. 4.3

С учетом неравенства ζ1 ≥ ζ2 ≥ ζ3 записываем: ζ1 = 43,9 МПа, ζ2 = 0, ζ3 = -63,9 МПа (считается, что ζz = ζ2 = 0).

Главные площадки определяются формулой

Следует иметь в виду, что, если направление поворота нормали совпадает с направлением вектора η, то алгебраическая величина ζ на этой площадке увеличивается.