[ММвЛХ] Лекция 12 Линейное программирование

Поволжский государственный технологический университет

Исследование операций

ЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Разработчик: доцент каф. ЛТ и Л, к. с.-х. наук Власова Н.А.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

•В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи по темам:

•рациональное использование сырья и материалов, оптимизация раскроя;

•оптимизация производственной программы предприятий;

•оптимальное размещение и концентрация производства;

•составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

•управление производственными запасами;

•прочие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

•Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

•По оценкам американских экспертов около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на ЛП. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач ЛП и их многочисленным модификациям.

Постановка задачи

•Постановка практической задачи ЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание линейной целевой функции W(x), подлежащей минимизации или максимизации,

функциональных hk(x), gj(x) и областных хli <xi <хui ограничений.

Задача линейного программирования в стандартной форме

•W=c1x1+c2x2+…+cnxn min (max)

•При ограничениях

a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1; a21x1+a22x2+…+a2nxn =b2;

…

a11x1+a12x2+…+a1nxn =bm;

х1=> 0; х2=> 0;… хn=> 0; b1=> 0; b2=> 0;… bm=> 0.

Задача линейного программирования в стандартной форме

•В матричной форме: W = c*x1min (max)

•При ограничениях

А*x =b; х=> 0; b=> 0,

где А –матрица размерности mxn;

х– вектор-столбец переменных размерности nx1;

b - вектор-столбец ресурсов размерности mx1; с – вектор-строка оценок задачи ЛП 1xn.

Висходной задаче ЛП ограничения часто имеют вид не равенств, а неравенств. В некоторых инженерных задачах не все переменные являются неотрицательными. Следовательно, требуется уяснить механизм преобразования неравенств к равенствам и неограниченных по знаку переменных к неотрицательным.

Постановка задачи

•Задача 1. Оптимизация размещения побочного производства лесничества

•Лесничество имеет 24га свободной земли под паром и

заинтересовано извлечь из неё доход. Оно может выращивать условную растениеводческую продукцию, которая достигает товарного состояния за 1 год или бычков, отведя часть земли под пастбище. Растениеводческая продукция выращивается и продается партиями по 1000 кг. Требуется 1,5га для выращивания 1 партии продукции и 4га для вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 часов в год на своё производство. Допустим, что требуется 20 часов для выращивания и заготовки 1 партии продукции. Для ухода за одним бычком также требуется 20 часов. Лесничество имеет возможность израсходовать на эти цели 6000 руб. Годовые издержки на одну партию растениеводческой продукции составляют 150 рублей и 1200 на одного бычка. Уже заключен контракт на поставку двух бычков. По сложившимся ценам 1кг продукции принесет чистый доход 2 рубля 50 копеек, а один бычок 5000 рублей.

Постановка задачи

•Показатель эффективности – доход за операцию (годовой чистый доход с земли в рублях)

•Управляемые переменные задачи:

х1 – количество бычков (в год)

х2 – количество партий растениеводческой продукции.

•Целевая функция: 5000*х1 + 2500*х2  max

•Ограничения:

•1. По использованию земли: 4*х1 + 1,5*х2 <= 24;

•2. По бюджету: 1200*х1 + 150*х2 <= 6000;

•3. По трудовым ресурсам: 20*х1 + 20*х2 <= 200;

•4. Обязательства по контракту: х1 => 2;

•5. Областные ограничения: х1 => 0, х2 => 0.

Решение задачи ЛП графическим способом