[ММвЛХ] Лекция 13 Нелинейное программирование

Поволжский государственный технологический университет

Исследование операций

НЕЛИНЕЙНОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Разработчик: доцент каф. ЛТ и Л, к. с.-х. наук Власова Н.А.

Нелинейное программирование

•Задачами нелинейного программирования (НЛП) называются задачи, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. НЛП представляет собой наиболее характерный метод оптимизации при проектировании машин и технологических процессов и служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных материальных, финансовых и трудовых ресурсов.

Нелинейное программирование

В сфере лесного комплекса к их числу относятся следующие задачи:

•оптимальное проектирование лесных машин и оборудования;

•рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

•оптимизации системы сервиса и технического обслуживания машинно-тракторного парка и др.

Нелинейное программирование

•Постановка практической задачи НЛП включает следующие основные этапы: определение показателя эффективности, переменных задачи, задание целевой функции W(x), подлежащей минимизации или максимизации,

функциональных hk(x), gj(x) и областных хli <xi <хui ограничений. (По крайней мере, или

целевая функция, или одно из функциональных ограничений должны быть нелинейны).

Нелинейное программирование

•Задачи НЛП можно классифицировать в

соответствии с видом функций W(x), hk(x), gj(x) и размерностью и содержанием вектора х. В самом общем виде классификация представлена в таблице:

Безусловная однопараметрическая оптимизация

•Безусловная оптимизация функции одной переменной- наиболее простой тип оптимизационных задач, тем не менее, она занимает центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точек зрения.

•Это связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итеративных процедур многопараметрической оптимизации.

Безусловная однопараметрическая оптимизация

•Пример 1. Оптимальный раскрой лесоматериалов.

Бревно длиной 15 м имеет форму конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 0,4 и 0,2 м. Требуется автоматизировать процесс раскроя бревна для получения бруса квадратного поперечного сечения, ось которого совпадала бы с осью бревна и объем которого был бы наибольшим. Определить размеры бруса.

Оптимизация раскроя бревна

Постановка задачи

•Показатель эффективности – объем бруса, м3

•Управляемая переменная задачидлина бруса l. При этом длина бруса l связана с поперечным размером b следующими зависимостями:

d=dk – (dk –d0)l/l0; b2=d2/2,

где

dk- диаметр бревна в комле, м;

d0 – диаметр бревна в вершине, м; l0 – длина бревна, м.

•Целевая функция:

W(l)=(l/2)(dk-(dk-d0)l/l0)2  max

Условная нелинейная оптимизация

•Пример 2. Распределение ресурсов

•Предприятие может выпускать 2 вида изделий. На их изготовление идет 3 типа ресурсов. Запасы ресурсов, плановые нормы расхода, себестоимость и цены указаны в табл. Все данные в табл. приведены на 1тыс изделий.