- •176 Научные
- •Оглавление
- •Введение
- •Наука и диссертационные исследования
- •Тема диссертационного исследования
- •Актуальность темы исследования
- •Постановка задачи исследований и выбор наименования диссертации
- •Объект и предмет исследований
- •Цели и задачи теоретического исследования
- •Научная новизна диссертационного исследования
- •Математические методы в исследованиях
- •Процесс разработки модели
- •Аналитические и имитационные модели.
- •Задачи эксперимента
- •Методика эксперимента
- •Компьютерный эксперимент
- •34 Компонента разработки программного продукта (то, что выполняет процесс).
- •Обработка научной информации
- •Отчет о нир
- •Работа с научной литературой
- •Отчет о научных исследованиях
- •Статья, доклад
- •Работа с текстом диссертации
- •Работа со списком литературы и другими источниками диссертационных исследований
- •Оформление приложений
- •Доклад результатов диссертационной работы
- •Структура и график работы над магистерской диссертацией
- •Список литературы
- •Приложения
- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Тема магистерской диссертации
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Содержание работы
- •Заключение
- •Публикации по теме диссертации
- •Отзыв научного руководителя
- •Наименование
- •230100.68 «Информатика и вычислительная техника»
- •424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3
- •424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17
Математические методы в исследованиях
Математические методы наиболее широко используются при проведении системных исследований. При этом решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется по следующему алгоритму:
математическая формулировка задачи (разработки математической модели);
выбор метода проведения исследования полученной математической модели;
анализ полученного математического результата.
Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т. п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.
Математическая модель представляет собой систему математических соотношений (формул, функций, уравнений, систем уравнений), описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса или объект (процесс) в целом.
Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.
Модель является результатом компромисса между двумя противоположными целями:
модель должна быть подробной, учитывать все реально существующие связи и участвующие в его работе факторы и параметры;
в то же время модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было получить приемлемые решения или результаты в приемлемые сроки при определенных ограничениях на ресурсы.
Моделирование можно назвать приближенным научным исследованием. А степень его точности зависит от исследователя, его опыта, целей, ресурсов.
Допущения, принимаемые при разработке модели, являются следствием целей моделирования и возможностей (ресурсов) исследователя. Они определяются требованиями точности результатов, и как сама модель, являются результатом компромисса. Ведь именно допущения отличают одну модель одного и того же процесса от другой.
Обычно при разработке модели отбрасываются (не принимаются во внимание) несущественные факторы. Константы в физических уравнениях считаются постоянными. Иногда усредняются некоторые величины, изменяющиеся в процессе (например, температура воздуха может считаться неизменной за какой-то промежуток времени).
Процесс разработки модели
Это процесс последовательной (и возможно, неоднократной) схематизации или идеализации исследуемого явления.
Адекватность модели - это ее соответствие тому реальному физическому процессу (или объекту), который она представляет.
Для разработки модели физического процесса необходимо определить:
область или границы ее применения (по времени, пространству и другим физическим характеристикам);
степень (глубину) детализации;
физические ограничения;
требуемую точность результатов;
константы и переменные определяющие состояние процесса;
управляемые переменные;
неуправляемые переменные (воздействия, возмущения);
параметры, характеризующие объект.
Иногда используется подход, когда применяется модель небольшой полноты, носящая вероятностный характер. Потом с помощью ЭВМ производится ее анализ и уточнение.
Проверка модели начинается и проходит в самом процессе ее построения, когда выбираются или устанавливаются те или иные взаимосвязи между ее параметрами, оцениваются принятые допущения. Однако после сформирования модели в целом надо проанализировать ее с некоторых общих позиций.
Математическая основа модели (т. е. математическое описание физических взаимосвязей) должна быть непротиворечивой именно с точки зрения математики: функциональные зависимости должны иметь те же тенденции изменения, что и реальные процессы; уравнения должны иметь область существования не менее диапазона, в котором проводится исследование; в них не должно быть особых точек или разрывов, если их нет в реальном процессе, и т. д. Уравнения не должны искажать логику реального процесса.
Модель должна адекватно, т. е. по возможности точно, отражать действительность. Адекватность нужна не вообще, а в рассматриваемом диапазоне.
Расхождения между результатами анализа модели и реальным поведением объекта неизбежны, так как модель - это отражение, а не сам объект.
На рис. 3. представлено обобщенное представление, которое используется при построении математических моделей.
Рис. 3. Аппарат для построения математических моделей
При использовании статических методов наиболее часто используется аппарат алгебры и дифференциальные уравнения с независимыми от времени аргументами.
В динамических методах таким же образом используются дифференциальные уравнения; интегральные уравнения; уравнения в частных производных; теория автоматического управления; алгебра.
В вероятностных методах используются: теория вероятностей; теория информации; алгебра; теория случайных процессов; теория Марковских процессов; теория автоматов; дифференциальные уравнения.
Важное место при моделировании занимает вопрос о подобии модели и реального объекта. Количественные соответствия между отдельными сторонами процессов, протекающих в реальном объекте и его модели, характеризуются масштабами.
В целом подобие процессов в объектах и модели характеризуется критериями подобия. Критерий подобия [2] - это безразмерный комплекс параметров, характеризующий данный процесс. При проведении исследований в зависимости от области исследований применяют различные критерии. Например, в гидравлике таким критерием является число Рейнольдса (характеризует текучесть жидкости), в теплотехнике - число Нусссельта (характеризует условия теплоотдачи), в механике - критерий Ньютона и т. д.
Считается, что если подобные критерии для модели и исследуемого объекта равны, то модель является правильной.
К теории подобия примыкает еще один метод теоретического исследования - метод анализа размерностей, который основан на двух положениях:
физические закономерности выражаются только произведениями степеней физических величин, которые могут быть положительными, отрицательными, целыми и дробными; размерности обоих частей равенства, выражающего физическую размерность, должны быть одинаковы.