34. Частица в двумерной потенциальной яме. Вырождение состояний.

Пусть частица движется в двумерной потенциальной яме, ограниченной в пространстве прямоугольником со сторонами и . Внутри ямы потенциальная энергия частицы равна нулю. На границах она возрастает до беск большой величины. Движение квантовой частицы в такой яме можно разложить на два независимых движения- по xи по-y. Волновая функция вследствие этого : . Решение уравнения Шрёдингера для такой ямы представляет собой двумерную стоячую волну. По краям ямы волновая функция обращается в ноль. Внутри имеются max и min.

Уравнение Шредингера: . Получаем: . Разделим на : . Можно записать 2 уравнения: и , . Каждое из них – это уравнение Шредингера для одномерной задачи. Следовательно, и . ; . Преобразуем решение в вид: . и - это условия 2-х стоячих волн (вдоль х и вдоль у).

Появляется 2 взаимно независимых квантовых числа. Эти значения определяют вид . ; . Отсюда получаем выражение для полной энергии частицы в двумерной яме: . Полная энергия оказывается квантована, как и раньше. Значениям , соответствует низшее состояние частицы в квантовой яме.

. На рисунке – функция в яме.

Вырождение состояний.

1. Общая ситуация: , область прямоугольная.

Если . Для любой пары квантовых чисел: .

2. Если , т. е. два различных состояния (разные волновые функции) обладают одной энергией. Такие состояния называются вырожденными. Значения энергии тоже называются вырожденными значениями, или вырожденными энергетическими уровнями. Вырождения появляются с появлением симметрии. В 3-х мерном пространстве: . Состояние будет однозначно описываться тройкой квантовых чисел , . Если возьмем кубическую яму, то произойдет вырождение. Перестановка квантовых чисел будет приводить к одинаковой энергии.

35. Квантовый гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы .Потенциальная энергия такой частицы имеете вид . Собственная частота гармонического осциллятора равна , где m-масса частицы. Отсюда . В одномерном случае . Поэтому уравнение Шрёдингера, описывающее стационарные состояния осциллятора имеет вид (2).

Волновые функции, характеризующие состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой яме, и волновые функции квантового гармонического осциллятора имеют много общего: как у волновых функций, так и у плотности вероятности.

Однако есть принципиальное различие, Двигаясь в бесконечно глубокой потенциальной яме, частицы не могут выйти за пределы ямы. В случае осциллятора это ограничение остается лишь для классической частицы. Ее координата не может превышать величину амплитуды колебаний, то есть . В точках происходит изменение движения частицы на противоположное под действие возвращающей силы. Квантовая частица имеет конечную вероятность оказаться в результате своего движения за пределами квадратичной потенциальной ямы.

Уравнение (2) имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при значения параметра Е равных:

На рис.1 дана схема энергетических уровней гармонического осциллятора. Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. В отличие от классического осциллятора спектр энергий получается квантованным. Величина полной энергии определяется частотой и квантовым числом n. Снизу спектр энергий ограничивается значением.

Уровень, соответствующий этому значению энергии, является основным уровнем осциллятора. Два любых соседних уровня разделены одинаковым промежутком . Такое расположение уровней называется эквидестантным. Так как минимальное значение энергии , то квантовый осциллятор в принципе не может находиться в покое. Колебания осциллятора с энергией Гармонический осциллятор Яма с бесконечной энергией называются нулевыми колебаниями. Их существование непосредственно вытекает из принципа неопределенности. Если бы у квантового осциллятора наблюдалось состояние покоя, то при этом частица находилась в точке равновесия. О означает, что неопределенность ее координаты . Тогда неопределенность импульса , согласно принципу Гейзенберга, должна стремиться к бесконечно большой величине. По этой причине осциллятор должен обязательно обладать конечной (не равной нулю) энергией. Имеется еще одно интересное свойство, связанное с изменение энергии квантового осциллятора. Оказывается, существует определенное правило отбора, которое ограничивает возможность изменения квантового числа n при переходе осциллятора из одного состояния в другое. Согласно этому правилу n может изменяться только на единицу:. Это означает, что энергия осциллятора может изменяться лишь порциями, равными по величине (величина энергии фотона). Частица, переходя на более низкий уровень излучает фотон, а поглотив фотон с энергией, необходимой для перехода на более высокий уровень, занимает его.

36. Квантование момента импульса. Орбитальный и собственный момент импульса частицы.

В классической механике для материальной точки момент импульса определяется как векторное произведение радиуса-вектора точки на ее импульс: .

1.

2. если система изолированная или движется в центрально симметричном поле.

В квантовой механике момент импульса используется при описании движения частиц в центрально-симметричных полях. Рассмотрим простейший пример:

отрицательно заряженный электрон движется в поле положительно заряженного протона.

Для микрочастиц можно ввести две разновидности момента импульса :

1. Орбитальный .

2. Собственный (спин - )

Неотъемлемые свойства электрона: , , S-спин (постоянная величина).

Орбитальный и собственный моменты импульсов являются квантованными.

Квантование орбитального момента.

Орбитальное движение – двумерное движение. Величина орбитального момента частицы определяется: где l = 0, 1, 2, 3,…Таким образом, если l=0, то L=0, а если l=1, то L=.

Величина проекции орбитального момента на некоторое выделенное направление Z в пространстве: , где (всего 2l+1 значений), а l – орбитальное квантовое число. Каждая проекция от соседней проекции отличается на .

Итак, как величина, так и направление квантово-механического орбитального момента могут меняться лишь дискретным образом. Орбитальный момент оказывается квантованным.

Наряду с орбитальным моментом частицы могут иметь свой собственный момент импульса, не связанный с их пространственным перемещением. Величина собственного момента характеризуется спиновым квантовым числом S и связана с ним соотношением: . Проекция спина на выделенное направление имеет лишь дискретные значения: , где - магнитное спиновое квантовое число.

Для электронов может быть только две возможные ориентации , соответствующие =, а =.

= - «спин - вверх», а = - «спин - вниз».