2.5.1. Расчёт на действие нагрузки

Подобрать площади поперечного сечения стержней трёхстержневой фермы, изображённой на рис.2.11,а.

а б

Рис.2.11

Поскольку при расчёте статически неопределённых конструкций используются уравнения совместности деформаций, выражаемые по закону Гука через жёсткость EF, а значения F нам неизвестны, необходимо заранее задавать соотношение площадей рассчитываемых стержней. Исходные данные – в табл.2.1.

Таблица 2.1.

Стержень	Площадь поперечного сечения F	Модуль Юнга E, кН/см2	Допускаемое напряжение [σ], кН/см2
1	F1	104	12
2	2F1	2·104	16

Определим длины стержней:

ℓ₁ = 3 м, ℓ₂ = ℓ₃ = 3/cos 30⁰ = 3/0,866 = 3,46 м  ℓ₂ = 3,46 м.

Решаем задачу в соответствии с записанным выше порядком расчёта.

1. Условия равновесия узла А (рис.2.11,б) выражаются двумя уравнениями статики:

∑ х = 0: N₃sin 30⁰ – N₂sin 30⁰ = 0  N₃ = N₂,

∑ у = 0: N₁ + P – N₂cos 30⁰ – N₃cos 30⁰ = 0.

В результате остается одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия:

N₁ + P – 2N₂cos 30⁰ = 0. (a)

Таким образом, конструкция один раз статически неопределима.

2. Так как система симметрична относительно оси среднего стержня и боковые стержни растягиваются одинаковыми силами, то узел A опустится по вертикали на величину деформации первого стержня ∆ℓ₁ и займёт положение A′ (рис.2.11,в). Стержни 2 и 3 удлиняются, на рисунке показан только второй стержень ВА и его новое положение ВА′. Удлинение бокового стержня получим, если из точки В радиусом, равным ВА′, проведём дугу и сделаем засечку на старом положении стержня ВА. Вследствие малости упругих удлинений по сравнению с длинами стержней можно дугу заменить перпендикуляром А′С, опущенным на линию АВ: АС = ∆ℓ₂. Из рисунка:

∆ℓ₂ = ∆ℓ₁cos 30⁰. (б)

Уравнение (б) есть уравнение совместности деформаций.

3. Удлинения стержней выразим по закону Гука через действующие в них усилия:

.

86,5 N₂ = – 259,8 N₁  N₁ = – 0,33N₂. (в)

Деформация 1-го стержня записана со знаком ''–'' т.к. она – укорочение.

4. Необходимо решить совместно уравнение статики (а) и уравнение совместности деформаций, выраженное через усилия (в):

В результате решения системы уравнений получим:

N₁ = – 112,1 кН, N₂ = 339,5 кН.

Найдём площади поперечного сечения стержней из условия прочности :

,. (г)

Так как кроме условий (г) должно еще выполняться первоначально заданное соотношение F₂ = 2F₁, окончательно принимаем: F₁ = 10,6 см², F₂ = 21,2 см². При этом напряжение во втором стержне будет равно допускаемому, а в первом оно будет меньше допускаемого

.

Отметим, что в статически неопределимых конструкциях невозможно получить равнопрочность всех элементов – всегда есть недогруженные стержни.

2.5.2. Температурные напряжения

В элементах статически неопределимых конструкций при изменении температуры возникают усилия (напряжения). Статически определимые конструкции при изменении температуры деформируются свободно: если нагреть стержень на ∆Т градусов, то он удлинится (рис.2.12) на величину ∆ℓ_Т.

Рис.2.12

∆ℓ_Т = α ∙ ∆Т ∙ ℓ, (2.19)

где α – коэффициент линейного расширения, размерность – 1/ град.

Превратим стержень, показанный на рис.2.12, в статический неопределимый. Для этого справа установим жёсткую опору (рис.2.13).

Рис.2.13

Теперь при нагревании жёсткие опоры препятствуют удлинению стержня, в результате чего возникают реакции, направленные вдоль оси. Уравнение статики:

∑ х = 0: R_B – R_A = 0  R_B = R_A = R.

Уравнение совместности деформаций:

∆ℓ = ∆ℓ_Т + ∆ℓ_N = 0 .

Записываем физическое уравнение, помня о том, что обе составляющие имеют знак “ + “, т.к. продольная сила N = R – растягивающая и от нагревания стержень должен удлиняться:

.

Получаем формулу для напряжения в стержне при равномерном по длине нагреве

. (2.20)

Теперь вернёмся к ферме, показанной на рис.2.11, и определим напряжения, возникающие в её стержнях, при равномерном нагреве одного из них. Внешняя сила Р при этом отсутствует. Исходные данные – в табл.2.2. Узел А – на рис.2.11,б, Р = 0.

Таблица 2.2.

Стержень		Площадь поперечного сечения F, см2	Коэффициент линейного расширения α, 1/град	Изменение температуры ∆Т0, С
1		10,6	225·10-7	+40
2		21,2
1.	∑ х = 0: N3sin 300 – N2sin 300 = 0  N3 = N2, ∑ у = 0: N1 – 2N2cos 300 = 0.					а)

2. Схема деформации – на рис.2.11,в, уравнение совместности деформации остается то же самое

∆ℓ₂ = ∆ℓ₁ ∙ cos 30⁰. (б)

3. Физическая сторона задачи:

,

.

В первом уравнении поставим знаки “–“, т.к. на схеме деформации системы первый стержень укорачивается. Теперь выражения для ∆ℓ подставляем в уравнение совместности деформаций (б):

.

Получили 8,16N₂ + 24,5N₁ = – 2338,2. (в)

4. Синтез. Решаем систему уравнений (а) и (в):

Получаем N₁ = – 80 кН, N₂ = – 46,26 кН.

5. Расчёт на прочность:

, .

Напряжения меньше допускаемых (см. табл.2.1), прочность обеспечена.