4.3. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z₁, y₁ – a, b.

Определить: моменты инерции относительно осей z₁, y₁ (рис.4.7).

Рис.4.7

Координаты любой точки в новой системе z₁Oy₁ можно выразить через координаты в старой системе так:

z₁ = z + b, y₁ = y + a.

Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно:

,

.

В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим

J_z1 = J_z + 2 aS_z + a²F,

J_y1 = J_y + 2 bS_y + b²F, (4.13)

J_y1z1 = J_zy + aS_y + bS_z + abF.

Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты S_z и

S_y равны нулю и формулы (4.13) упрощаются:

J_z1 = J_z + a²F,

J_y1 = J_y + b²F, (4.14)

J_y1z1 = J_zy + abF.

Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z₁, проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14)

.

4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.

Определить: моменты инерции фигуры относительно z₁, y₁.

Рис.4.8

Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:

z₁ = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y₁ = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:

,

,

Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:

J_z1 = J_zcos²α + J_ysin²α – J_zysin 2α,

J_y1 = J_zsin²α + J_ycos²α + J_zysin 2α, (4.15)

. (4.16)

Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)

J_z1 + J_y1 = J_z + J_y = const.

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.

4.5. Главные оси и главные моменты инерции

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, J_uυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α₀, чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим

. (4.18)

Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции J_z и J_y, а вместо касательных напряжений τ_zy – центробежный момент инерции J_zy. Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18):

. (4.19)

Полученные из (4.18) два значения угла α₀ отличаются друг от друга на 90⁰, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45⁰.