3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия
Объёмное напряжённое состояние встречается реже, чем плоское. Пример – толстостенный сосуд давления (рис.3.10). Подробным образом изучают объёмное напряжённое состояние в курсе теории упругости, в сопротивлении материалов – только основные понятия.
Рис.3.10
Рассмотрим объёмное напряжённое состояние, заданное главными напряжениями (рис.3.11).
Рис.3.11
Напряжения, действующие по наклонной площадке с нормалью n, находятся по формулам
σα = σ1cos2α1 + σ2cos2α2 + σ3cos2α3, (3.19)
. (3.20)
Эти формулы приведены без вывода. В них α1, α2, α3 – углы, которые образуют нормаль к площадке n с осями x, y, z соответственно.
Если наклонная площадка параллельна одному из главных напряжений, то напряжения, по ней действующие, не зависят от этого главного напряжения. Они определяются по формулам плоского напряженного состояния в зависимости от двух других главным напряжений. Учитывая, что главные напряжения экстремальные, т.е. σ1 = σmax и σ3 = σmin, легко найти наибольшее касательное напряжение. Очевидно, оно действует по площадке, параллельной σ2 и наклоненной под углом 450 к σ1 и σ3 (рис.3.12). Определяется формулой (3.13)
. (3.21)
Рис.3.12
Известный интерес, особенно при изучении пластических деформаций, представляют напряжения, действующие по площадке, равнонаклонённой ко всем главным направлениям. Такая площадка называется октаэдрической, поскольку она параллельна грани октаэдра, который может быть образован из куба. Нормаль к этой площадке образует равные углы с главными направлениями:
α1 = α2 = α3 = α.
Учитывая, что всегда
cos2α1 + cos2α2 + cos2α3 = 1,
Получаем
cos2α = ⅓.
Тогда из формул (3.19) и (3.20) находим
, (3.22)
. (3.23)
При изучении вопросов прочности деформация бесконечно малого элемента разделяется на деформацию изменения объёма и деформацию искажения формы. Оказывается, что σокт «ответственно» за изменение объёма, а τокт – за изменение формы.
Напряжение σокт представляет собой среднее напряжение для данного объемного напряженного состояния, σокт = σср
3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии. Закон Гука
3.5.1. Обобщённый закон Гука
Исследуя деформации и рассматривая вопросы прочности при объёмном и плоском напряжённом состояниях, будем в соответствии с основными гипотезами предполагать, что материал следует закону Гука, а деформации малы.
Изучая центральное растяжение (сжатие) прямого бруса, мы выяснили, что при линейном напряжённом состоянии бесконечно малый элемент испытывает продольную и поперечную деформации, связанные с напряжением формулами (2.9) и (2.7);
,
. (3.24)
Напомним, что Е – модуль нормальной упругости и ν - коэффициент Пуассона – упругие постоянные материала.
Рассмотрим деформацию элемента, находящегося в объёмном напряжённом состоянии (рис.3.13,а). Определим относительные деформации в главных направлениях ε1, ε2 и ε3. Применяя принцип суперпозиции, можно записать
ε1 = ε11 + ε12 + ε13.
где ε11 – относительное удлинение в направлении σ1, вызванное действием только σ1 (рис. 3.13,б);
ε12 – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ2 (рис. 3.13,в);
ε13 – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ3 (рис. 3.13,г).
Поскольку направление σ1 для самого напряжения σ1 является продольным, а для напряжений σ2 и σ3 – поперечным, то по формулам (3.24) находим
,
,
.
Сложив эти величины, будем иметь
.
а б в
г
Рис.3.13
Аналогично получим выражения и для двух других главных удлинений. В результате
(3.25)
Формулы (3.25) носят название обобщённого закона Гука для изотропного тела. Заметим, что сжимающие напряжения подставляют в эти формулы со знаком минус. Из формул (3.25) легко можно получить закон Гука для плоского напряжённого состояния. Например, для случая σ2 = 0
(3.26)
Подчеркнём, что равенство нулю напряжения σ2 не означает, что ε2 также равно нулю. Например, при растяжении пластинки в её плоскости по второй формуле (3.26) можно определить уменьшение толщины пластинки.
Выражения (3.25) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных линейных деформаций по любым трём взаимно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига от действия касательных напряжений на линейную деформацию представляет собой величину второго порядка малости. Иными словами, индексы «1», «2» и «3» могут быть заменены на индексы х, у и z.